1、5.1平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a同方向
2、；当|b|答案A解析方法一利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.方法二|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.命题点2向量的线性运算例2(2018全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意图如图所示()().故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3(2019江西省名校联考)在ABC中，2，则等于()A B. C D.答案A解析因为，2，所以，所以，所以，因为，所以，所以.故选A.思维升华平面
3、向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和或差共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟踪训练1(1)(2020河北省衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC于点E，则等于()A. B.C. D.答案A解析因为DCAB，BCCDDA，DEAC，所以E是AC的中点，可得()，故选A.(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若xy(x，y
4、R)，则xy_.答案2解析由题意得，因为xy，所以，所以解得所以xy2. 共线定理的应用例4已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，则A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解
5、决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线，共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.跟踪训练2(1)设两个非零向量a与b不共线若kab与akb共线，则k_.答案1解析kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.(2)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为()A1 B2 C3 D4答案B解析方法一连结AO，则()，因为M，O，N三点共线，所以1，所以mn2.方法二连结AO(图略)由于O为BC的中点，故()，()，同理，.由于向量，共线，故存在实数使得，即.由于，不共线，故得且，消掉，得(m2)(n2)mn，化简即得mn2.
