1、2 等 差 数 列 2.1 等 差 数 列 第1课时 等 差 数 列 必备知识自主学习 1.等差数列的定义(1)定义:从第2项起,每一项与前一项的差是_的数列.(2)公差:这个_叫作公差,通常用字母_表示.同一个常数 常数 d【思考】如何用符号语言表示等差数列的定义?提示:an-an-1=常数d(n2),或an+1-an=常数d(nN+).2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为_.an=a1+(n-1)d【思考】要求等差数列的通项公式,需要求哪些基本量?提示:首项a1,公差d.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)从第2项起,后一
2、项减前一项所得的差是常数的数列就是等差数列.()(2)任意相邻两项的差都可以看作公差.()(3)等差数列的通项公式只能由首项a1和公差d表示.()(4)等差数列的通项公式一定是n的一次式.()提示:(1).所得的差是同一个常数的数列才是等差数列.(2).公差d一定是由后项减前项所得,若前项减后项则为-d.(3).an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.(4).常数列的通项公式不能看作一次式.2.下列命题:数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);数列2n+1是等差数列.其
3、中正确命题的序号是()A.B.C.D.【解析】选C.正确,中公差为-2.3.等差数列an中,首项a1=3,公差d=4,如果an=2 019,则序号n等于()A.502 B.503 C.504 D.505【解析】选D.由an=a1+(n-1)d得2 019=3+4(n-1).解得n=505.4.(教材二次开发:习题改编)已知等差数列an中,d=-,a7=8,则a1=.【解析】由a7=a1+6d=8且d=-,解得a1=8-6d=8+2=10.答案:10 1313关键能力合作学习 类型一 等差数列的判断与证明(逻辑推理)【典例】已知数列an中,a1=2,an+1=2-,数列bn中,bn=,其中nN+
4、.(1)求证:数列bn是等差数列.(2)求数列an的通项公式.n1an1a1【思路导引】(1)根据等差数列定义,即证bn+1-bn为常数,将bn用 代入,结合 条件可证.(2)写出bn的通项公式后,可得an的通项公式.n1a1【解析】(1)由题意得b1=1,bn+1=.bn+1-bn=1,所以数列bn是等差数列,首项为1,公差为1.(2)由(1)得bn=1+n-1=n.所以an-1=,所以an=+1.nn 1n 1n11a1a1a21annna1a1a1n11bn1n【解题策略】判定等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(nN+)或an-an-1=d(n2,nN+)数列an是等差数列.
5、(2)通项公式法:数列an的通项公式an=pn+q(p,q为常数)数列an为等差数列.提醒:若an+1-an为常数,则该常数为等差数列an的公差;若an+1-an=an-an-1(n2,nN+)成立,则无法确定等差数列an的公差.若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.【跟踪训练】已知数列an满足a1=2,an+1=,则数列 是否为等差数列?说明理由.【解析】数列 是等差数列,理由如下:因为a1=2,an+1=,所以 (常数).所以 是首项为 ,公差为 的等差数列.nn2aa2n1an1ann2aa2nn 1nnn
6、1n1a211111a2a2aaa2，n1a111a212类型二 等差数列通项公式的应用(逻辑推理)角度1 求项(数)【典例】已知等差数列an中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?【思路导引】利用等差数列的通项公式求解.【解析】设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,由已知得 解得 所以an=-23+(n-1)4=4n-27,令an=153,即4n-27=153,解得n=45N+,所以153是所给数列的第45项.11a15 1d33a61 1d217（），（），1a23d4.，【变式探究】(2020荆州高一检测)已知等差数列an满足3a
7、3=4a4,则该数列中一定为零的 项为()A.a6 B.a7 C.a8 D.a9【解题指南】由条件可得a3=-4d,进而得an=(n-7)d,从而得解.【解析】选B.因为3a3=4a4,所以3a3=4 =4a3+4d,所以a3=-4d,所以an=a3+(n-3)d=-4d+(n-3)d=(n-7)d,所以a7=0.3(ad)角度2 求通项公式 【典例】1.已知等差数列an:3,7,11,15,求它的通项公式.2.已知在等差数列an中,a5=-20,a20=-35.试求出数列的通项公式.【思路导引】1.由已知可以确定数列的首项a1=3,公差d=4,代入公式即可.2.设出首项和公差,利用a5=-2
8、0,a20=-35可得方程组:解方程组得出a1与d的值,代入公式即可.51201aa4d20aa19d35 ，【解析】1.由已知可得等差数列an的首项a1=3,公差d=4,所以an=3+4(n-1)=4n-1,所以等差数列an的通项公式为an=4n-1.2.设an的通项公式是an=a1+(n-1)d(nN+),由已知得:解这个方程组得a1=-16,d=-1.故数列an的通项公式为an=-16+(n-1)(-1)=-15-n.51201aa4d20aa19d35 ，【解题策略】等差数列通项公式的四个应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该
9、数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列an是等差数列.【题组训练】1.(2020石河子高一检测)已知等差数列的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n项为()A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1【解析】选B.已知等差数列an的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,故有2(a+1)=a-1+2a+3,解得a=0,故等差数列an的前三项依次为-1,1,3,故数列是以-1为
10、首项,以2为公差的等差数列,故通项公式an=-1+(n-1)2=2n-3.2.已知数列an满足a1=15,且3an+1=3an-2.若akak+10,则正整数k=()A.24 B.23 C.22 D.21【解析】选B.由3an+1=3an-2得an+1-an=-,所以数列an为首项a1=15,公差d=-的等差数列,所以an=15-(n-1)=-n+,则由akak+10,ak+10,a240 B.a7+a90,则公差d=,显然不成立,所以m0,则公差d=所以m=322322.333cos().232 3.已知 是等差数列,且a1=,a4=1,则a10=()A.-5 B.-11 C.-12 D.3
11、 n1a114【解题指南】由 是等差数列,求得an,进而求出a10.【解析】选B.因为 是等差数列,设bn=,b1=,b4=,所以3d=-,d=-,所以bn=,所以an=-1,故a10=-11.n1a1n1a1n1a145123101109n1010109n4.(2020荆州高一检测)张丘建算经有一道题大意为:今有十等人,每等一 人,宫赐金,以等次差(即等差)降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得 金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,则每等人比下一等人多得 斤?()5747A.B.C.D.81783976【解题指南】根据题意将每等人所得的黄金斤数构造等差数列,设公差为d,根 据
12、题意和等差数列的前n项和公式列出方程组,求出公差d即可得到答案.【解析】选B.设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,依次类推,第一等人得金 a10斤,则数列an构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,由题意得 ,即 ,解得d=,所以每等人比下一等人多得 斤金.12348910aaaa3aaa4114a6d33a24d47787785.(2020北京高考)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项【解析】选B.设公差为d,因为a1
13、=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,a50,所以T10,T30,T50,所以an=.答案:2n1a12n1a122nn1aa 2na22n1aann【误区警示】本题由于不注意an0容易造成增根.7.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为an=.【解析】因为a+(3-a)=2(2a-1),所以a=.所以这个等差数列的前三项依次为 ,.所以d=,an=+(n-1)=+1.答案:n+1 54325474145414n4148.已知等差数列an中,a1a2an且a3,a6为x2-10 x+16=0的两个实根,则此数列 的通项公式是 .【解析】由题意,又因
14、为a1a2an,所以解得a3=2,a6=8,所以 ,a1=-2,d=2,从而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.答案:an=2n-4 3636aa10a a16.，11a2d2a5d8，三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an满足a1=1,且an=2an-1+2n(n2,且N+).(1)求a2,a3;(2)证明:数列 是等差数列;(3)求数列an的通项公式an.nna2【解析】(1)a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)因为an=2an-1+2n(n2,且nN+),所以 +1(n2,且nN+),即 =1(n2,且nN+),所以 是首项为 ,公差d=1的等差
15、数列.(3)由(2)得 +(n-1)1=n-,所以an=（n-）2n.nn 1nn 1aa22nn 1nn 1aa22nna211a122nna122121210.数列an满足a1=2,an+1=(-3)an+2n(nN+).(1)当a2=-1时,求 及a3的值;(2)是否存在 的值,使数列an为等差数列?若存在,求其通项公式;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为a1=2,a2=-1,a2=(-3)a1+2,所以=.所以a3=-a2+22,所以a3=.(2)因为a1=2,an+1=(-3)an+2n,所以a2=(-3)a1+2=2-4,a3=(-3)a2+4=22-10+16.若an为等差数
16、列,则a1+a3=2a2,即2-7+13=0.因为=49-4130,所以方程无实数解,所以值不存在,所以不存在的值使an为等差数列.3232112【创新迁移】1.九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日、第五日、第八日所织之和为15尺,则第十四日所织尺数为()A.13 B.14 C.15 D.16【解题指南】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出第十四日所织尺数.【解析】选B.设第一天织a1尺,从第二天起每天比前一天多织d尺,由已知得 ,解得:a1=1,d=1,所以第十四日所织尺数为a14=a1+13d=1+131=14.11117a21d28ada4da7d 152.已知函数f(x)=,数列xn满足xn=f(xn-1),求证:数列 为等差数列.【证明】由xn=f(xn-1)=(n2,nN+),所以 (n2,nN+).所以 是等差数列.3xx3n1xn1n13xx3n1nn1n11x311x3x3x，nn1111xx3n1x