1、考点规范练 23 三角恒等变换 考点规范练 A 册第 15 页 基础巩固 1.2sin47-3sin17cos17=()A.-3 B.-1 C.3 D.1 答案:D 解析:原式=2sin47-sin17cos30cos17=2sin(17+30)-sin17cos30cos17=2sin30=1.故选 D.2.(2019 全国,理 10)已知 0,2,2sin 2=cos 2+1,则 sin=()A.15 B.55 C.33 D.255 答案:B 解析:2sin2=cos2+1,4sincos=2cos2.0,2,cos0,sin0,2sin=cos.又 sin2+cos2=1,5sin2=1
2、,即 sin2=15.sin0,sin=55.3.(2019 辽宁葫芦岛高三二模)已知函数 f(x)=3sin x+cos x(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2,则该函数的一个单调递增区间为()A.6,23 B.-512,12 C.-3,6 D.-3,23 答案:C 解析:f(x)=3sinx+cosx=2sin(+6).由题意得 T=,=2,所以 f(x)=2sin(2+6),由-2+2k2x+6 2+2k,kZ,得-3+kx6+k,kZ,故函数 f(x)的单调递增区间为-3+,6+,kZ.令 k=0,得函数 f(x)的一个单调递增区间为-3,6.4.(2019 湖北咸宁模拟)已知
3、tan(+)=2,tan=3,则 sin 2=()A.725 B.1425 C.-725 D.-1425 答案:C 解析:由题意知 tan=tan(+)-=tan(+)-tan1+tan(+)tan=-17,所以 sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=-725.5.已知 tan(+4)=-12,且2,则sin2-2cos2sin(-4)等于()A.255 B.-3510 C.-255 D.-31010 答案:C 解析:sin2-2cos2sin(-4)=2sincos-2cos222(sin-cos)=22cos,由 tan(+4)=-12,得tan+11-tan=
4、-12,解得 tan=-3.因为2 0),则 A=,b=.答案:2 1 解析:因为 2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin 2x+4+1,所以 A=2,b=1.9.设 f(x)=1+cos22sin(2-)+sin x+a2sin(+4)的最大值为2+3,则实数 a=.答案:3 解析:f(x)=1+2cos2-12cos+sinx+a2sin(+4)=cosx+sinx+a2sin(+4)=2sin(+4)+a2sin(+4)=(2+a2)sin(+4).依题意有2+a2=2+3,则 a=3.10.已知点(4,1)在函数 f(x)=2asin xcos x+cos 2x
5、 的图象上.(1)求 a 的值和 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)在区间(0,)内的单调递减区间.解:(1)函数 f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.f(x)的图象过点(4,1),1=asin2+cos2,可得 a=1.f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2+4).函数的最小正周期 T=22=.(2)由 2k+2 2x+4 32+2k,kZ,可得 k+8 x58+k,kZ.函数 f(x)的单调递减区间为+8,58+,kZ.x(0,),当 k=0 时,可得单调递减区间为8,58.11.函数 f(x)=cos(-2)+sin(-2),xR.(1
6、)求 f(x)的最小正周期;(2)若 f()=2105,(0,2),求 tan(+4)的值.解:(1)f(x)=cos(-2)+sin(-2)=sin2+cos2=2sin(2+4),故 f(x)的最小正周期 T=212=4.(2)由 f()=2105,得 sin2+cos2=2105,则(sin2+cos2)2=(2105)2,即 1+sin=85,解得 sin=35,又 (0,2),则 cos=1-sin2=1-925=45,故 tan=sincos=34,所以 tan(+4)=tan+tan41-tantan4=34+11-34=7.能力提升 12.已知函数 f(x)=cos x(sin
7、 x+3cos x)(0),若存在实数 x0,使得对任意的实数 x,都有f(x0)f(x)f(x0+2 016)成立,则 的最小值为()A.12016 B.14032 C.12016 D.14032 答案:C 解析:由题意可得,f(x0)是函数 f(x)的最小值,f(x0+2016)是函数 f(x)的最大值.又 f(x)=cosx(sinx+3cosx)=12sin2x+3 1+cos22=sin(2+3)+32,所以要使 取最小值,只需保证区间x0,x0+2016为一个完整的单调递增区间即可.故 2016=12 2min,求得 min=12016,故 的最小值为12016,故选 C.13.已
8、知 cos=13,cos(+)=-13,且,(0,2),则 cos(-)的值等于()A.-12 B.12 C.-13 D.2327 答案:D 解析:(0,2),2(0,).cos=13,cos2=2cos2-1=-79,sin2=1-cos22=429,又,(0,2),+(0,),sin(+)=1-cos2(+)=223,cos(-)=cos2-(+)=cos2cos(+)+sin2sin(+)=(-79)(-13)+429 223=2327.14.(2019 江苏,13)已知tantan(+4)=-23,则 sin 2+4的值是 .答案:210 解析:由tantan(+4)=tantan+1
9、1-tan=tan(1-tan)tan+1=-23,得 3tan2-5tan-2=0,解得 tan=2 或 tan=-13.又 sin(2+4)=sin2cos4+cos2sin4 =22(sin2+cos2)=22 2sincos+cos2-sin2sin2+cos2=22 2tan+1-tan2tan2+1.(*)当 tan=2 时,(*)式=22 22+1-2222+1=22 15=210;当 tan=-13时,(*)式=22 2(-13)+1-(-13)2(-13)2+1=22 13-19109=210.综上,sin(2+4)=210.15.(2019 浙江,18)设函数 f(x)=s
10、in x,xR.(1)已知 0,2),函数 f(x+)是偶函数,求 的值;(2)求函数 y=f x+122+f x+42的值域.解:(1)因为 f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数 x 都有 sin(x+)=sin(-x+),即 sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin,故 2sinxcos=0,所以 cos=0.又 0,2),因此=2 或32.(2)y=f x+122+f x+42=sin2 x+12+sin2 x+4=1-cos(2+6)2+1-cos(2+2)2=1-1232 cos2x-32sin2x =1-32 cos 2x+3.因此,函数的值
11、域是 1-32,1+32.高考预测 16.已知 f(x)=(1+1tan)sin2x-2sin(+4)sin(-4).(1)若 tan=2,求 f()的值;(2)若 x 12,2,求 f(x)的取值范围.解:(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin(+4)cos(+4)=1-cos22+12sin2x+sin(2+2)=12+12(sin2x-cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由 tan=2,得 sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45.cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan21+tan2=-35.所以 f()=12(sin2+cos2)+12=35.(2)由(1)得 f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22 sin(2+4)+12.由 x 12,2,得 2x+4 512,54.所以-22 sin(2+4)1,所以 0f(x)2+12,所以 f(x)的取值范围是0,2+12.