1、第三讲基本不等式1.2020河南驻马店模拟设0ab,则下列不等式正确的是()A.ababa+b2 B.aaba+b2bC.aabba+b2 D.abaa+b20且y0”是“xy+yx2”的充要条件;若a0,则a3+1a2的最小值为2a;不等式a2+b22ab与a+b2ab有相同的成立条件.A.0B.1C.2D.33.2019天津,13,5分理设x0,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.4.2017江苏,10,5分某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.5.2015山东,
2、14,5分定义运算“”:xy=x2-y2xy(x,yR,xy0).当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.考法1利用基本不等式求最值命题角度1利用拼凑法求最值1 （1）2019辽宁两校联考已知ab0,则a+4a+b+1a-b的最小值为A.3102B.4C.23D.32(2)设0xb0,所以a+b0,a - b0.由基本不等式可得12(a+b)+4a+b212(a+b)4a+b=22,当且仅当12(a+b)=4a+b,即a+b=22时,等号成立;12(a - b)+1a-b212(a-b)1a-b=2,当且仅当12(a - b)=1a-b,即a - b=2时,等号成立.由a+b=22,a-b
3、=2,解得a=322,b=22.(检验等号成立的条件)所以当a=322,b=22时,中的等号同时成立.故a+4a+b+1a-b的最小值为22+2=32.(2)y=4x(3 - 2x)=22x(3 - 2x)22x+(3-2x)22=92,当且仅当2x=3 - 2x,即x=34时,等号成立.因为34(0,32),所以函数y=4x(3 - 2x)(0x0,n0)过点(1, - 2),则1m+2n的最小值为A.2B.6C.12D.3+22把点的坐标代入直线的方程得m与n的关系式进行“1”的代换利用基本不等式求最值因为直线2mx - ny - 2=0(m0,n0)过点(1, - 2),所以2m+2n
4、- 2=0,即m+n=1,所以1m+2n=(1m+2n)(m+n)=3+nm+2mn3+22,(运用“1”的代换求解)当且仅当nm=2mn,即n=2m时取等号,所以1m+2n的最小值为3+22.D命题角度3利用消元法求最值32019辽宁五校联考已知正实数a,b满足ab - b+1=0,则1a+4b的最小值是.先将已知等式变形,可得a=b-1b,然后对1a+4b=bb-1+4b进行合理拼凑,再利用基本不等式求出最值即可.由ab - b+1=0可得a=b-1b,由a=b-1b0且b0得b1,所以1a+4b=bb-1+4b=1b-1+4(b - 1)+5.易知1b-1+4(b - 1)4,所以1a+
5、4b9,当且仅当1b-1=4(b - 1),即b=32,a=13时等号成立,故1a+4b的最小值是9.1.(1)2018天津,13,5分理已知a,bR,且a - 3b+6=0,则2a+18b的最小值为.(2)2017山东,12,5分若直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.考法2利用基本不等式解决实际问题4经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3 - km+1(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的
6、销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?题中信息对接方法年销售量、年促销费用由题中信息确定k值,进而明确两者关系.销售价格、成本销售价格、成本用年销售量x与年促销费用m表示,构建关于m的关系式.利润最大利用基本不等式求解.(1)由题意可知,当m=0时,x=1,1=3 - k,解得k=2,即x=3 - 2m+1,(代值定参数)每1万件产品的销售价格为1.58+16xx(万元),2019年的利润y=x(1.58+16xx) -
7、(8+16x+m)(建模,利润=总收入 - 总投入)=4+8x - m=4+8(3 - 2m+1) - m=28 - 16m+1 - m(m0).y与m之间的函数关系式是y=28 - 16m+1 - m(m0).(2)由(1)知y= - 16m+1+(m+1)+29(m0). 当m0时,16m+1+(m+1)216m+1(m+1)=8,(利用基本不等式求最值)当且仅当16m+1=m+1,即m=3时取等号,y - 8+29=21,即当m=3时,y取得最大值,为21.当该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.2.2019江苏南京三模某工厂有100名工人接受了生产1
8、000台某产品的任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每名工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组,分别加工甲型和乙型装置,设加工甲型装置的工人有x名,他们加工完甲型装置所需时间为t1时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t2时,设f (x)=t1+t2.(1)求f (x)的解析式,并写出其定义域;(2)当x等于多少时,f (x)取得最小值?考法3利用基本不等式证明不等式5(1)已知a,b,cR,求证:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c);(2)设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab22.(1) a4+b42a2b2,b4
9、+c42b2c2,c4+a42c2a2,当且仅当a4=b4=c4时取等号,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,当且仅当a2=b2=c2时取等号,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).(2) a,b均为正实数,1a2+1b221a21b2=2ab,当且仅当1a
10、2=1b2,即a=b时等号成立. 2ab+ab22abab=22,当且仅当2ab=ab时等号成立,所以1a2+1b2+ab2ab+ab22,当且仅当1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42时取等号.(多次使用不等式,等号要同时成立)解后反思本题先局部运用基本不等式,然后利用不等式的性质,通过不等式相加(有时相乘)综合推出待证的不等式,这种证明方法是证明这类轮换对称不等式的常用方法.3.已知a0,b0,a+b=1,求证:(1+1a)(1+1b)9.易错连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错6 2017天津,13,5分若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.因为ab0,所
11、以a4+4b4+1ab24a4b4+1ab=4a2b2+1ab=4ab+1ab24ab1ab=4,当且仅当a2=2b2,ab=12时等号成立,(连续使用两次基本不等式,两个等号成立的条件要一致)故a4+4b4+1ab的最小值是4.素养探源核心素养考查途径素养水平逻辑推理找出a4+4b4与ab的关系,利用基本不等式求最值.二数学运算基本不等式的应用,等号成立的条件的求解.一易错警示当多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件的一致性,否则容易出错.因此利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且是检验转换结果是否有误的一种方法.3.2019安徽合肥二模若a+b0,则
12、a2+b2+1(a+b)2的最小值为.1.B因为0ab,所以a - ab=a(a - b)0,故a0,所以ba+b2;由基本不等式知a+b2ab.综上所述,aaba+b2b,故选B.2.A当x0时,y - 2,故错误;易知当且仅当cos x=2时f (x)取最小值,但cos x不可能为2,所以等号不可能成立,故错误;当x0且y0,b0时才成立,故错误.选A.3.43(x+1)(2y+1)xy=2xy+2y+x+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy.由x+2y=5得522xy,即xy524,即xy258,当且仅当x=2y=52时等号成立.2xy+6xy22xy6xy=43,当且仅当2xy=6x
13、y,即xy=3时取等号,结合xy258可知,xy可以取到3,故(x+1)(2y+1)xy的最小值为43.4.30一年购买600x次,则总运费与总存储费用之和为600x6+4x=4(900x+x)8900xx=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.5.2因为x0,y0,所以xy+(2y)x=x2 - y2xy+4y2 - x22xy=x2+2y22xy=12(xy+2yx)2,当且仅当xy=2yx,即x=2y时取等号.故xy+(2y)x的最小值为2.1.(1)14由a - 3b+6=0,得a=3b - 6,则2a+18b=23b - 6+123b223b
14、- 6123b=22 - 3=14,当且仅当23b - 6=123b,即b=1时等号成立,故2a+18b的最小值为14.(2)8直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,2),1a+2b=1.a0,b0,2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当ba=4ab和1a+2b=1同时成立,即a=2,b=4时等号成立,2a+b的最小值为8.2.(1)易知t1=9000x,t2=30003(100 - x)=1000100 - x,则f (x)=t1+t2=9000x+1000100 - x,定义域为x|1x99,xN*.(2)f (x)=9000x+10001
15、00 - x=1 000(9x+1100 - x)=10x+(100 - x)(9x+1100 - x)=1010+9(100 - x)x+x100 - x.因为f (x)的定义域为x|1x99,xN*,所以9(100 - x)x0,x100 - x0,故9(100 - x)x+x100 - x29=6,当且仅当9(100 - x)x=x100 - x,即x=75时取等号.故当x=75时,f (x)取得最小值.3.解法一a0,b0,a+b=1,1+1a=1+a+ba=2+ba.同理,1+1b=2+ab.(1+1a)(1+1b)=(2+ba)(2+ab)=5+2(ba+ab)5+4=9,当且仅当
16、ba=ab,即a=b=12时取等号.(1+1a)(1+1b)9,当且仅当a=b=12时等号成立.解法二(1+1a)(1+1b)=1+1a+1b+1ab=1+a+bab+1ab=1+2ab.a0,b0,a+b=1,ab(a+b2)2=14,当且仅当a=b=12时取等号.1ab4,2ab8,当且仅当a=b=12时取等号.(1+1a)(1+1b)1+8=9,当且仅当a=b=12时等号成立.4.2解法一因为2aba2+b2,所以(a+b)22(a2+b2).由a+b0,知a2+b2+1(a+b)2a2+b2+12(a2+b2)212=2,当且仅当a=b且a2+b2=12(a2+b2),即a=b=418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.解法二因为a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2,所以a2+b2(a+b)22,所以a2+b2+1(a+b)2(a+b)22+1(a+b)2212=2,当且仅当a=b且(a+b)22=1(a+b)2,即a=b=418时两个等号同时成立.故a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.