1、核心素养微专题建模提能之3 小船渡河模型1.小船渡河模型的特点:(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。(2)三种速度:船在静水中的速度v1、水的流速v2、船的实际速度v。(3)三种情景。过河时间最短:船头正对河岸,渡河时间最短,t短=(d为河宽)。过河路径最短(v2v1时):合速度不可能垂直于河岸,无法垂直河岸渡河。确定方法如下:如图所示,以v2矢量末端为圆心,以v1矢量的大小为半径画弧,从v2矢量的始端向圆弧作切线,则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知sin=,最短航程x短=。2.求解小船渡河问题应注意的关键点:(1)正确区分分运动和合运动,船的航行方向也就是船头指向,
2、是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一般情况下与船头指向不一致。(2)按实际效果分解,一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关,与水流速度无关。(4)求最短渡河位移时,根据船速v船与水流速度v水的大小关系选择不同的处理方法。【典例】如图所示,一艘轮船正在以4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河,河中各处水流速度都相同,其大小为v1=3 m/s,行驶中,轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火,轮船牵引力随之消失,轮船相对于水的速度逐渐减小,但船头方向始终未发生变化。求:(1)发动机未熄火时,轮船相对于静
3、水行驶的速度大小。(2)发动机熄火后,轮船相对于河岸速度的最小值。【解析】(1)发动机未熄火时,轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直,如图所示:故此时船相对于静水的速度v2的大小:v2=5 m/s设v与v2的夹角为,则cos=0.8。(2)熄火前,船的牵引力沿v2的方向,水的阻力与v2的方向相反,熄火后,牵引力消失,在阻力作用下,v2逐渐减小,但其方向不变,当v2与v1的矢量和与v2垂直时,轮船的合速度最小,则vmin=v1cos=30.8 m/s=2.4 m/s。答案:(1)5 m/s(2)2.4 m/s【精练题组通关】1.某船要渡过60 m宽的河,船渡河的最短时间是12 s;若船沿垂直河岸
4、的直线到达正对岸,渡河时间是15 s,则船在静水中的速率v1及河水的流速v2分别为()A.v1=5 m/sv2=4 m/sB.v1=5 m/sv2=3 m/sC.v1=4 m/sv2=5 m/sD.v1=4 m/sv2=3 m/s【解析】选B。当以最短时间渡河时,船头指向正对岸,则渡河时间为:t1=,所以船在静水中的速度为:v1=m/s=5 m/s,故C、D均错误。当船垂直河岸到达正对岸时,即合速度垂直河岸,渡河时间为:t2=,代入数据解得:v2=3 m/s。故A错误,B正确。2.如图是某船采用甲、乙、丙三种过河方式的示意图(河宽相同)。船在静水中的速度v0不变,河中各处的水流速度v1不变,图
5、中小船尖端指向为船头方向。下列判断正确的是()A.由甲图可判断出v0v1,选项A错误;当船头垂直河岸过河时,其过河时间最短,B正确;由于丙图中的小船船头指向与水速成锐角,其合速度是这三种情况中最大的,故C错误;若甲、丙的船头方向与垂直河岸方向的夹角相同(船的分位移相同),则它们过河时间就相同,故D错误。故选B。课时提升作业十 曲线运动 运动的合成与分解(建议用时40分钟)【基础练】1.质点沿如图所示的轨迹从A点运动到B点,已知其速度逐渐减小,图中能正确表示质点在C点处受力的是()【解析】选C。由质点运动轨迹的弯曲方向可知其受力方向应指向AB的右侧,由其速度逐渐减小可知质点受力方向与AB的方向成
6、钝角,故C正确,A、B、D错误。2.中国长宁蜀南竹海全国热气球锦标赛在长宁县开赛,比赛期间来自全国50家顶级热气球竞赛队伍的100多名运动员在竹海上空激烈角逐。如图所示,热气球在竖直Oy方向做匀加速运动,在水平Ox方向做匀速运动,热气球的运动轨迹可能为()A.直线OAB.曲线OBC.曲线OCD.曲线OD【解析】选D。热气球在竖直Oy方向做匀加速运动,此方向上合力沿Oy方向,在水平Ox方向做匀速运动,此方向上合力为零,所以合运动的加速度方向沿Oy方向,合初速度方向不沿Oy方向,热气球做曲线运动,结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD。选项D符合题意。3.(2020绍兴模拟)如图所示是一个做匀
7、变速曲线运动的物体的轨迹示意图,运动至A点时速度大小为v0,经一段时间后物体运动至B点,速度大小仍为v0,但相对A点时的速度方向改变了90,则在此过程中()A.物体的运动轨迹AB可能是某个圆的一段圆弧B.物体的速度可能先增大后减小C.物体的速度不可能小于v0D.B点的加速度方向与速度方向垂直【解析】选C。由题意,物体做匀变速曲线运动,则加速度的大小与方向都不变,所以运动的轨迹是一段抛物线,不是圆弧,A错误;由题意,物体运动到B点时速度方向相对A点时的速度方向改变了90,速度沿B点轨迹的切线方向,则知加速度方向垂直于AB的连线向下,合外力也向下,物体做匀变速曲线运动,物体由A到B过程中,合外力先
8、和速度成钝角然后成锐角,速度先减小再增大,B错误;物体的加速度方向垂直于AB的连线向下,根据题意可知速度方向改变90,则A点的速度方向与AB连线方向的夹角为45,如图所示:所以在物体运动过程中的最小速度为v0,C正确;物体在B点速度沿B点轨迹的切线方向,而加速度方向垂直于AB的连线向下,可知二者之间的夹角小于90,D错误。故选C。【加固训练】质量为m的物体,在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动,保持F1、F2不变,仅将F3的方向改变90(大小不变)后,物体可能做()A.加速度大小为的匀变速直线运动B.加速度大小为的匀变速直线运动C.加速度大小为的匀变速曲线运动D.匀速直线运动【解
9、析】选B。物体在F1、F2、F3三个共点力作用下做匀速直线运动,必有F3与F1、F2的合力等大反向,当F3大小不变,方向改变90时,F1、F2的合力大小仍为F3,方向与改变方向后的F3夹角为90,故F合=F3,加速度,但因不知原速度方向与F合的方向间的关系,故可能做匀变速直线运动,也可能做匀变速曲线运动。4.如图所示,小船沿直线AB过河,船头始终垂直于河岸。若水流速度增大,为保持航线不变,下列措施与结论正确的是()A.增大船速,过河时间不变B.增大船速,过河时间缩短C.减小船速,过河时间变长D.减小船速,过河时间不变【解析】选B。水流速度和船速的合速度方向沿虚线方向,水流速度变大,船速也应变大
10、,河宽不变,过河时间变短,B项正确。【加固训练】小船横渡一条河,小船本身提供的速度大小和方向都不变,已知小船的运动轨迹如图所示,则河水的流速()A.越接近B岸越大B.越接近B岸越小C.由A岸到B岸先增大后减小D.恒定【解析】选B。船的实际运动方向沿运动轨迹的切线方向,船的合运动与分运动的关系如图所示,由图可知,水流速度逐渐减小,船的合速度的方向符合题意,故选项B正确。5.(多选)如图所示,在光滑水平面上有两条互相平行的直线l1、l2,AB是两条直线的垂线,其中A点在直线l1上,B、C两点在直线l2上。一个物体沿直线l1以确定的速度匀速向右运动,如果物体要从A点运动到C点,图中1、2、3为其可能
11、的路径,则可以使物体通过A点时()A.获得由A指向B的任意大小的瞬时速度;物体的路径是2B.获得由A指向B的确定大小的瞬时速度;物体的路径是2C.持续受到平行于AB的任意大小的恒力;物体的路径可能是1D.持续受到平行于AB的确定大小的恒力;物体的路径可能是3【解析】选B、C。物体获得由A指向B的任意瞬时速度时,由运动的合成可知,物体的运动路径是直线,但不一定是路径2,只有该瞬时速度为某确定值时,物体的路径才是2,故A错误,B正确;物体持续受到平行AB的任意大小的恒力时,物体做曲线运动,且运动路径弯向恒力方向,物体运动的路径可能是1,但路径一定不会是3,故C正确,D错误。6.物体在xOy平面内从
12、坐标原点开始运动,沿x轴和y轴方向运动的速度分量随时间t变化的图象分别如图甲、乙所示,则物体在0t0时间内()A.做匀变速运动B.做非匀变速运动C.运动的轨迹不可能如图丙所示D.运动的轨迹可能如图丁所示【解析】选A。由题图甲、乙知:物体在x轴方向做匀速直线运动,在y轴方向做匀减速直线运动,加速度恒定,物体做匀变速运动,故A正确,B错误;物体受到的合力沿y轴方向,与初速度不在同一直线上,根据合力指向轨迹的内侧可知,图丙是可能的,故C、D错误。7.一个物体沿y轴下落,下落到O点时突然受到沿x轴正方向、与重力大小相等的恒定的水平风力作用,以下四幅图中能正确反映物体的运动轨迹的是()【解析】选C。物体
13、落到O点时,速度方向竖直向下,而重力和风力的合力与x轴成45角斜向下,所以物体做曲线运动且轨迹向合力方向偏,且合速度方向(即曲线切线方向)与竖直方向的夹角一直小于45,C正确。8.如图所示,一条小船位于200 m宽的河的正中央A处,从这里向下游100 m处有一危险区。当时水流的速度为4 m/s,为了使小船避开危险区沿直线到达河岸,小船在静水中的速度至少是()A.m/sB.m/sC.2 m/sD.4 m/s【解析】选C。设小船的合速度与水流速度的夹角为;则有因此=30;当小船在静水中的速度与合速度垂直时,速度最小,故选C。【加固训练】某河流中水流的速度是2 m/s,一小船要从河岸的A点沿直线匀速
14、到达河对岸的B点,B点在河对岸下游某处,且A、B间的距离为100 m,河宽为50 m,则小船的速度至少为()A.0.5 m/sB.1 m/sC.1.5 m/s D.2 m/s【解析】选B。船要渡河到达B点,最小速度应满足即船的速度至少为1 m/s。【提升练】9.如图所示,某登陆舰船头垂直海岸从A点出发,分别沿路径AB、AC在演练岛屿的B、C两点登陆。已知登陆舰在静水中速度恒定且大于水速,则下列说法正确的是()A.沿AC航行所用时间较长B.沿AC航行时水速较大C.实际航速两次大小相等D.无论船头方向如何,登陆舰都无法在A点正对岸登陆【解析】选B。由航行时间可知,两次航行时间相等,沿AC航行沿水流
15、方向的位移大,说明此过程水速度大,故A错误,B正确;根据速度的合成可知,实际航速两次大小不相等,故C错误;当船头偏向上游时,可以在A点正对岸登陆,故D错误。10.如图所示,套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大,故在释放B后,A将沿杆上升,当A环上升至与定滑轮的连线水平时,其上升速度v10,若这时B的速度为v2,则()A.v2=0B.v2v1C.v20D.v2=v1【解析】选A。环上升过程中其速度v1可分解为两个分速度v和v,如图所示。其中v为沿绳方向的速度,其大小等于重物B的速度为v2;v为绕定滑轮转动的线速度,则关系式为v2=v1cos,为v1与v间
16、的夹角,即有:v2v1,当环A上升至与定滑轮的连线处于水平的位置时,=90,cos=0,即此时有:v2=0,故A正确,B、C、D错误。故选A。11.飞机起飞时以300 km/h的速度斜向上飞行,飞行方向与水平方向成30角。(1)若将飞机的运动分解为水平和竖直两个分运动,画出它的速度分解图。(2)求水平方向和竖直方向的分速度的大小。【解析】(1)如图将飞机起飞时的速度沿水平方向和竖直方向分解如图所示。(2)由图可知,答案:(1)见解析图(2)150 km/h150 km/h12.如图为一次洪灾中,解放军的直升机在帮助居民运送救灾物资。该直升机A用长度足够长的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m=50 kg的物资B,直升机A和物资B以v0=10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动,某时刻开始将物资放下,在5 s时间内,B在竖直方向上移动的距离以y=t2(单位:m)的规律变化,g取10 m/s2。求在5 s末物资B的速度大小及位移大小。【解析】物资在水平方向上做匀速直线运动,v0=10 m/s,在竖直方向上物资的位移:y=t2,即物资在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=2 m/s2,物资5 s末在竖直方向上的速度为vy=at=10 m/s,合速度竖直方向上的位移y=at2=25 m,水平方向上的位移x=v0t=50 m,合位移答案:10 m/s25 m
