1、3.3 导数的综合应用最新考纲 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题1利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题；(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研
2、究新函数的值域问题3方程解的个数问题 构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)连续函数在闭区间上必有最值()(2)函数 f(x)x23x2 的极小值也是最小值()(3)函数 f(x)xx1 和 g(x)xx1 都是在 x0 时取得最小值1.()(4)函数 f(x)x2ln x 没有最值()(5)已知 x0，2，则 sin xx.()(6)若 a2，则方程13x3ax210 在(0，2)上没有实数根()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2014湖南)若0 x1x2l
3、n x2ln x1 Bex1ex2x1ex2 Dx2ex1x1ex2【解析】设 f(x)exln x(0 x1)，则 f(x)ex1xxex1x.令 f(x)0，得 xex10.根据函数 yex 与 y1x的图象可知两函数图象交点 x0(0，1)，因此函数 f(x)在(0，1)上不是单调函数，故 A，B 选项不正确 设 g(x)exx(0 x1)，则 g(x)ex（x1）x2.又 0 x1，g(x)0.函数 g(x)在(0，1)上是减函数 又 0 x1x2g(x2)，x2ex1x1ex2.【答案】C3设直线 xt 与函数 f(x)x2，g(x)ln x 的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到
4、最小时 t 的值为()A1B.12C.52D.22【解析】|MN|的最小值，即函数 h(x)x2ln x(x0)的最小值，h(x)2x1x2x21x，【答案】D 显然 x 22 是函数 h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故 t 22.4(2016山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件 C3百万件 D4百万件【解析】y3x2273(x3)(x3)，当0 x0；当x3时，y1 时，f(x)0 得x0，x2x10，解得 0 x1 52.故 f(x)的单调递增区间是
5、0，1 52.(2)证明：令 F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有 F(x)1x2x.当 x(1，)时，F(x)1 时，F(x)1 时，f(x)g(x)可转化为证明F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，再利用导数求F(x)的最小值(2)对于F(x)f(x)g(x)的最小值，不易求出的情况，也可以通过f(x)，g(x)的最值情况进行证明跟踪训练 1 证明：当 x0，1时，22 xsin xx.【证明】记 F(x)sin x 22 x，则 F(x)cos x 22.当 x0，4 时，F(x)0，F(x)在0，4 上是增函数；当 x4，1 时，F(x)0，所以当 x0，1时，F(x)0，即
6、sin x 22 x.记 H(x)sin xx，则当 x(0，1)时，H(x)cos x10 时，x，2a3(0，)时，f(x)0，x2a3，0 时，f(x)0，所以函数 f(x)在，2a3，(0，)上单调递增，在2a3，0 上单调递减；当 a0，x0，2a3 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(，0)，2a3，上单调递增，在0，2a3 上单调递减(2)由(1)知，函数 f(x)的两个极值为 f(0)b，f2a3 427a3b，则函数 f(x)有三个零点等价于 f(0)f2a3 b427a3b 0，427a3b0或a0，0b0 时，427a3ac0 或当 a0 时，427a3ac0.设 g(
7、a)427a3ac，因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是(，3)1，32 32，则在(，3)上 g(a)0 均恒成立，从而 g(3)c10，且 g32 c10，因此 c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a因为函数有三个零点，则 x2(a1)x1a0 有两个异于1 的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得 a(，3)1，32 32，.综上 c1.【思维升华】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数
8、的和谐统一 跟踪训练2(2015安徽)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.【解析】构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值，从而判断零点情况 令f(x)x3axb，则f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，正确；当a0时，若a3，则f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，需f(x)极大0，b2，正确，不正确 故填.【答案】题型三 生活中的优化问题【例 3】(20
9、15江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米以 l2，l1 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数 yax2b(其中 a，b 为常数)模型(1)求a，b的值(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并
10、写出其定义域 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度【思维点拨】(1)根据M，N两点坐标求得a，b的值；(2)根据导数先求切线方程，再求f(t)，最后利用导数求最值【解析】(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)将其分别代入 yax2b，得a25b40，a400b2.5，解得a1 000，b0.(2)由(1)知，y1 000 x2(5x20)，则点 P 的坐标为t，1 000t2，设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 两点，y2 000 x3，则 l 的方程为 y1 000t22 000t3(xt)，由此得 A3t2，0，B0，3 000t
11、2.故 f(t)3t223 000t22 32t24106t4，t5，20设 g(t)t24106t4，则 g(t)2t16106t5.令 g(t)0，解得 t10 2.当 t(5，10 2)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当 t10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min300，此时 f(t)min15 3.答：当 t10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米【思维升华】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如
12、果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点 跟踪训练 3(2015山东菏泽期中)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需另投入 2.7 万元设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)10.8 130 x2（010）.(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)【解析】(1)当 010 时，WxR(x)(102.7x)981 0003x 2.7x.W8.1x
13、x33010（010）.(2)当 00，当 x(9，10时，W10 时，W981 0003x 2.7x 982 1 0003x 2.7x38，当且仅当1 0003x 2.7x，即 x1009 时，W38，故当 x1009 时，W 取最大值 38(当 1 000 x 取整数时，W 一定小于 38)综合知，当 x9 时，W 取最大值，故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大审题路线图系列 1一审条件挖隐含【典例】(12 分)设 f(x)axxln x，g(x)x3x23.(1)如果存在 x1，x20，2使得 g(x1)g(x2)M 成立，求满足上述条件的最大整数 M.(
14、2)如果对于任意的 s，t12，2，都有 f(s)g(t)成立，求实数 a的取值范围【审题路线图】【规范解答】(1)存在 x1，x20，2使得 g(x1)g(x2)M 成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.(2 分)由 g(x)x3x23，得 g(x)3x22x3xx23.令 g(x)0 得 x23，又 x0，2，所以 g(x)在区间0，23 上单调递减，在区间23，2 上单调递增，所以 g(x)ming23 8527，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min11227 M，则满足条件的最大整数 M4.(5 分)(2)对于任意的 s，t12，2，都
15、有 f(s)g(t)成立，等价于在区间12，2 上，函数 f(x)ming(x)max.(7 分)由(1)可知在区间12，2 上，g(x)的最大值为 g(2)1.在区间12，2 上，f(x)axxln x1 恒成立等价于 axx2ln x恒成立 设 h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知 h(x)在区间12，2 上是减函数，又 h(1)0，所以当 1x2 时，h(x)0；当12x0.(10 分)即函数 h(x)xx2ln x 在区间12，1 上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以 h(x)maxh(1)1，所以 a1，即实数 a 的取值范围是1，)(12 分)【温馨提醒】
16、(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题方法与技巧 1利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用 2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用 3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 失误与防范 1函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)0，(f(x)0在有限个点处取到)2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义