1、第五章平面向量第一讲平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算1.2020惠州市一调正方形ABCD中,点E,F 分别是DC,BC的中点,那么EF =()A.12AB+12ADB.-12AB-12AD C.12AB-12ADD.-12AB+12AD2.2019洛阳市第二次联考在ABC中,点D在线段BC上,且BD =2DC,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若AO =xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()A.(0,1)B.(23,1)C.(0,13) D.(13,23)3.2019辽宁丹东模拟设平面向量a,b不共线,若AB =a+5b,BC =-2a+8b,CD =3(a-b)
2、,则()A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线4.2019江西红色七校联考已知平面向量a =(-1,2),b =(2,m),且ab,则3a+2b =()A.( - 1,2) B.(1,2) C.(1, - 2)D.( - 1, - 2)5.2019广东省广州市高三测试若向量a =(cos ,sin ),b =(1,-1),则|2a-b|的取值范围是()A.2-2,2+2B.0,2 C.0,2D.1,36.2020唐山市摸底考试已知|a| =5,b =(2,1),且ab,则向量a的坐标是.7.2019武汉市部分学校高三调研测试已知向量a =(
3、1,-1),与a方向相同的单位向量为.8.2019安徽示范高中高三测试如图5-1-1,在平行四边形ABCD中,E,F 分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF ,交于点G.若CG =CD+CB(,R),则 =.图5-1-19.已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OAOB =0,存在实数,满足OC+OA+OB =0,则实数,的关系为()A.2+2 =1B.1+1 =1 C. =1 D.+ =110.在ABC中,D为ABC所在平面内一点,且AD =13AB+12AC,则SBCDSABD = ()A.16B.13C.12D.2311.2020四省八校二检已知a =(1,x),b
4、 =(y,1),x0,y0.若ab,则xyx+y的最大值为()A.12B.1C.2D.212.2020百校联考如图5-1-2所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c满足c =xa+yb,且(ka-b)c =0,则x+yk =.图5-1-213.2019江淮十校联考已知在ABC中,|BC| =|AB-CB|,AB =(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t =.14.2019河南模拟在ABC中,A =3,O为平面内一点,且|OA| =|OB| =|OC|,M为劣弧BC上一动点,且OM =pOB+qOC,则 p+q的取值范围为.第一讲平
5、面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算1.C解法一因为点E是DC的中点,所以EC=12DC=12AB.因为点F是BC的中点,所以CF=12CB= - 12AD.所以EF=EC+CF=12AB - 12AD,故选C.解法二如图D 5 - 1 - 4,连接BD,图D 5 - 1 - 4因为点E,F分别是DC,BC的中点,所以EF=12DB=12(AB - AD)=12AB - 12AD,故选C.2.C解法一AO=xAB+(1 - x)AC=x(AB - AC)+AC,即AO - AC=x(AB - AC),CO=xCB,|CO|CB|=x.BD=2DC,BC=3DC,则0x|DC|BC
6、|=13,x的取值范围是(0,13),故选C.解法二设BO=BC,(23,1),则AO=AB+BO=AB+BC=(1 - )AB+AC=xAB+(1 - x)AC,则x=1 - ,又(23,1),x(0,13),故选C.3.AAB=a+5b,BC= - 2a+8b,CD=3(a - b),AD=AB+BC+CD=(a+5b)+( - 2a+8b)+3(a - b)=2(a+5b)=2AB,AD与AB共线,即A,B,D三点共线,故选A.4.C因为ab,所以 - 1m=22,所以m= - 4,所以3a+2b=3( - 1,2)+2(2, - 4)=( - 3,6)+(4, - 8)=(1, - 2
7、).故选C.5.A向量a=(cos ,sin ),b=(1, - 1),则|2a - b|=(2cos - 1)2+(2sin+1)2=6+4(sin - cos)=6+42sin( - 4),而 - 4242sin( - 4)42,所以2 - 2|2a - b|2+2,即|2a - b|的取值范围是2 - 2,2+2,故选A.6.(25,5)或( - 25, - 5)因为b=(2,1),所以|b|=5,又|a|=5,ab,所以a=5b或a= - 5b,所以a的坐标为(25,5)或( - 25, - 5).7.(22, - 22)与a=(1, - 1)方向相同的单位向量为(12, - 12),
8、即(22, - 22).8.12由题图可设CG=xCE(0x0,y0,所以y=1x,所以xyx+y=1x+y=1x+1x12x1x=12(当且仅当x=1x,即x=1时取等号),所以xyx+y的最大值为12,故选A.解法二因为ab,所以xy=1,又x0,y0,所以xyx+y=1x+y12xy=12(当且仅当x=y=1时取等号),所以xyx+y的最大值为12,故选A.12.95结合图形得a=(1,2),b=(3,1),c=(4,4),由c=xa+yb得x+3y=4,2x+y=4,解得x=85,y=45,所以x+y=125,由(ka - b)c=0得kac - bc=0,即12k - 16=0,所以
9、k=43,所以x+yk=95.13.1依题意,得|BC|=|AC|,故ABC是以AB为底边的等腰三角形,故CDAB,所以CDAB=(3 - t, - 1)(1,2)=3 - t - 2=0,解得t=1.14.1,2解法一因为|OA|=|OB|=|OC|,所以O为ABC外接圆的圆心,且BOC=23.以O为坐标原点,建立如图D 5 - 1 - 5所示的平面直角坐标系,图D 5 - 1 - 5不妨设圆的半径为1,则B(1,0),C( - 12,32),设M(cos ,sin )(023),则OB=(1,0),OC=( - 12,32),由OM=pOB+qOC,得cos=p - q2,sin=32q,
10、解得p=cos+13sin,q=23sin,所以p+q=cos +3sin =2sin(+6),由023,知6+656,所以当+6=2,即=3时,p+q取得最大值,最大值为2;当+6=6或+6=56,即=0或=23时,p+q取得最小值,最小值为1.故p+q的取值范围是1,2.解法二因为|OA|=|OB|=|OC|,所以O为ABC外接圆的圆心,且BOC=23.不妨设圆的半径为1,则|OM|=|OB|=|OC|=1,OM=pOB+qOC,两边同时平方,得|OM|2=p2|OB|2+q2|OC|2+2pq|OB|OC|cosBOC,即1=p2+q2+2pq( - 12),则1=p2+q2 - pq=(p+q)2 - 3pq.又由条件知p0,q0,所以0pq(p+q2)2=14(p+q)2,所以(p+q)21,(p+q)2 - 34(p+q)21,所以1(p+q)24,所以1p+q2.