1、第十节变化率与导数、导数的计算2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数。2016，全国卷，16,5分(导数的几何意义)2016，全国卷，15,5分(切线方程)2015，全国卷，21(1)，5分(切线问题)2015，全国卷，12,5分(切线问题)2014，全国卷，8,5分(利用导数几何意义、求参数)1.有关导数的计算较少直接考查，一般出现在解答题中的某一个环节上，作为解题工具；2.导数的几何意义考查较多，有时以客
2、观题形式出现，有时在大题的某一问中出现。微知识小题练自|主|排|查1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或yxx0，即f(x0) 。(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)。(3)函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数。2导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f
3、(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)axf(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)lnxf(x)(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)。(3)复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。微点提醒1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆。2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的
4、切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者。3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别。小|题|快|练一 、走进教材1(选修11P73例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_，加速度a_。【解析】vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8。【答案】9.8t6.59.82(选修11P85习题3.2A组T7改编)f(x)cosx在点处的切线的倾斜角为_。【解析】f(x)sinx，切线的斜率kf1，故切线的倾斜角为。【答案】二、双基查验1f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f
5、(1)的值为()A0 B3C4 D【解析】f(x)x32x1，f(x)x22。f(1)3。故选B。【答案】B2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是() 【解析】由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C。又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B。故选D。【答案】D3(2017盘锦模拟)已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为()A2B2C.D1【
6、解析】由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以3，解得x01。故选D。【答案】D4已知函数f(x)axlnx，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_。【解析】因为f(x)a(1lnx)，所以f(1)a3。【答案】35已知曲线yxlnx在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_。【解析】y1，则曲线yxlnx在点(1,1)处的切线斜率为ky112，故切线方程为y2x1。因为y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，联立得ax2ax20，显然a0，所以由a28a0a8。【答案】8微考点大课堂考点
7、一 导数的计算多维探究角度一：由函数的解析式求导数【典例1】(1)若yx，则y_。(2)若yxsincos，则y_。(3)若y(1)，则y_。(4)若yln(12x)，则y_。【解析】(1)yxx31x2，y3x22x33x2。(2)yxsincosxsinx，y1cosx。(3)y(1)1xx1xx，yxx。(4)设u12x，ylnu，则yln(12x)是由ylnu与u12x复合而成，所以yxyuux(lnu)(12x)(2)。【答案】(1)3x2(2)1cosx(3)(4)角度二：含有导数值的抽象函数求导问题【典例2】(1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf
8、(2)lnx，则f(2)_。(2)已知函数f(x)fsinxcosx，则f_。【解析】(1)f(x)x23xf(2)lnx，f(x)2x3f(2)，f(2)43f(2)3f(2)，f(2)。(2)f(x)fsinxcosx，f(x)fcosxsinx，ff，f(2)，f(x)(2)sinxcosx，f(2)1。【答案】(1)(2)1反思归纳含有导数值的抽象函数的求导方法对于含有导数值的抽象函数，求导时将导数值视为常数，利用基本初等函数的导数公式和运算法则求导即可。【变式训练】(1)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_。(2)已知函数f(x)fcosxsinx，则f的
9、值为_。【解析】(1)令ext，则xlnt，f(t)lntt。f(t)1，f(1)2。(2)f(x)fsinxcosx，所以ff，解得f1，故ffcossin1。【答案】(1)2(2)1考点二 导数的几何意义多维探究角度一：已知切点的切线方程问题【典例3】(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_。【解析】当x0时，x0，则f(x)ex1x。又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)ex1x，所以f(x)ex11，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线斜率为f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x
10、1)，即y2x。【答案】y2x角度二：未知切点的切线方程问题【典例4】(2016全国卷)若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_。【解析】设ykxb与ylnx2和yln(x1)的切点分别为(x1，lnx12)和(x2，ln(x21)。则切线分别为ylnx12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxlnx11，yxln(x21)，依题意，解得x1，从而blnx111ln2。【答案】1ln2角度三：求参数的值【典例5】已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于
11、()A1B3C4 D2【解析】f(x)，直线l的斜率为kf(1)1。又f(1)0，切线l的方程为yx1。g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0)，显然k1k21无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f(x)ex0，显然k1k2ex1ex21无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f(x)3x20，显然k1k23x3x1无解，故该函数不具有T性质。故选A。答案A4设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_。解析因为yex，所以yex，所以曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1yx0e01，设P的坐标为(x0，y0)(x00)，则y0，因为y，所以y，所以曲线y在点P处的切线的斜率k2yxx0，因为k1k21，所以1，即x1，解得x01，因为x00，所以x01，所以y01，即P的坐标是(1,1)。答案(1,1)5如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_。解析x5，f(5)583。又f(5)1，f(5)f(5)312。答案2