1、3.1 导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率 2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点处的相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(x0，f(x0)切线的斜率3函数f(x)的导函数 4基本初等函数的导数公式 6复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数
2、yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()yuuxy对uu对x【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(5)若 f(x)a32axx2，则 f(x)3a22x.()(6)函数 y x3的导数是 y 3x2.()1(2015陕西)设曲线 yex 在点(0，1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P
3、 处的切线垂直，则 P 的坐标为_【解析】利用导数表示切线斜率，根据切线垂直列方程求解 yex，曲线 yex 在点(0，1)处的切线的斜率 k1e01，设 P(m，n)，y1x(x0)的导数为 y1x2(x0)，曲线 y1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1)【答案】(1，1)2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()【解析】由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图
4、象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.【答案】D 4曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_【解析】y2e2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线 y2x2 与 yx 的交点为 A23，23，三角形的面积 S1212313.【答案】13题型一 利用定义求函数的导数【例1】用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数【解析】方法一：yf(xx)f(x)(xx)22(xx)1(x22x1)x22xx(
5、x)22x2x1x22x1(2x2)x(x)2，所以 lim yxlim（2x2）x（x）2x lim(2x2)x2x2.所以函数 f(x)x22x1 在 x1 处的导数为f(x)|x12120.方法二：yf(1 x)f(1)(1 x)22(1 x)1(12211)12 x(x)222 x12(x)2，所以 lim y xlim（x）2 xlim x0.故 f(x)|x10.【思维升华】(1)求函数 f(x)的导数步骤：求函数值的增量yf(x2)f(x1)；计算平均变化率yxf（x2）f（x1）x2x1；计算导数 f(x)lim yx.(2)利用定义法求解 f(a)，可以先求出函数的导数 f(
6、x)，然后令 xa 即可求解，也可直接利用定义求解跟踪训练 1(1)函数 yx1x在x，x x上的平均变化率 y x_；该函数在 x1 处的导数是_(2)已知 f(x)1x，则 f(1)_【解析】(1)y(xx)1xxx1x x1xx1xxxx（xx）.yx11x（xx）.y|x1lim yx0.(2)yf(1x)f(1)11x1 1 1x1x（1 1x）（1 1x）1x（1 1x）x1x（1 1x），yx11x（1 1x），lim yxlim11x（1 1x）12.f(1)12.【答案】(1)11x（x x）0(2)12题型二 导数的运算【例 2】求下列函数的导数：(1)yexln x；(2
7、)yxx21x1x3；(3)ysin22x3；(4)yln(2x5)【解析】(1)y(exln x)exln xex1x exln x1x.(2)yx311x2，y3x22x3.(3)ysin22x3 1212cos4x23.故设 y1212cos u，u4x23，则 yxyuux12sin u4 2sin u2sin4x23.(4)设 yln u，u2x5，则 yxyuux，因此 y12x5(2x5)22x5.【思维升华】(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度减少差错；(2
8、)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导 跟踪训练 2(1)f(x)x(2 015ln x)，若 f(x0)2 016，则 x0 等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于()A1 B2C2D0(3)若 f(x)3xe2x，则 f(x)_【解析】(1)f(x)2 015ln xx1x2 016ln x，故由 f(x0)2 016 得 2 016ln x02 016，则 ln x00，解得 x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且 f(1)2，f(1)2.(3)
9、f(x)1213x(3x)e2x(2x)12 3x2e2x.【答案】(1)B(2)B(3)12 3x2e2x题型三 导数的几何意义【例 3】设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值【解析】(1)方程 7x4y120 可化为 y74x3.当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3.故 f(x)x3x.(2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲
10、线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0，2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6.【思维升华】导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线
11、方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解【思维升华】导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解易错警示系列 5混淆“在某点处的
12、切线”与“过某点的切线”致误【典例】若存在过点(1，0)的直线与曲线 yx3 和 yax2154x9 都相切，则 a 等于()A1 或2564B1 或214C74或2564D74或 7【易错分析】没有对点(1，0)的位置进行分析，误认为是切点而失误【解析】因为 yx3，所以 y3x2，设过(1，0)的直线与 yx3 相切于点(x0，x30)，则在该点处的切线斜率为 k3x20，所以切线方程为 yx303x20(xx0)，即 y3x20 x2x30.又(1，0)在切线上，则 x00 或 x032.【答案】A当 x00 时，由 y0 与 yax2154 x9 相切可得 a2564，当 x032时，
13、由 y274 x274 与 yax2154 x9 相切，可得 a1.【温馨提醒】(1)对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解方法与技巧 1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 失误与防范 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导 2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别