1、第八讲函数模型及其应用1.2020湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联考2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,新政策的主要内容包括:个税起征点为5 000元.每月应纳税所得额(含税) =月收入-个税起征点-专项附加扣除.专项附加扣除包括赡养老人、子女教育、继续教育、大病医疗等.其中赡养老人的扣除标准为:独生子女每月扣除2 000元,非独生子女与其兄弟姐妹按照每月2 000元的标准分摊扣除,但每个人分摊的额度不能超过1 000元.子女教育的扣除标准为:每个子女每月扣除1 000元(可由父母中的一方扣除,或父母双方各扣除500元).给出下列税率表:级数每月应纳税所得额(含税)税率1
2、不超过3 000元的部分3%2超过3 000元至12 000元的部分10%3超过12 000元至25 000元的部分20%李某为独生子,他的月收入为18 000元,膝下有两名子女(子女教育的费用由李某一人扣除),需要赡养老人(除此之外,无其他专项附加扣除),则李某每月应缴纳的个税金额为()A.590元B.690元C.790元D.890元2.2020四川绵阳中学月考某数学小组进行社会实践调查,了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息:该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表:销售单价/元678910111
3、2日均销售量/桶480440400360320280240根据以上信息,你认为定价为多少时才能获得最大利润?()A.每桶8.5元B.每桶9.5元 C.每桶10.5元D.每桶11.5元3.2020重庆一中摸底考试某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系为:P =P0e-kt(k为正的常数,P0为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,则要能够按规定排放废气,至少还需要过滤()A.12小时B.59小时C.5小时D.52小时4.2020武汉市部分学校质量监测
4、武汉是一座美丽的城市,这里湖泊众多,风景如画.图2-8-1是武汉某景区中一个半径为100米的圆形湖泊的示意图,图2-8-1为了方便游客观赏,决定在湖中搭建一个“工”字形栈道,其中AB =CD,M,N分别为AB,CD的中点,则栈道最长为米.5.2020山西省实验中学模拟已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(0x25)并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)(单位:万元),且R(x) =108 - 13x2(0x10), - x+175x+57(100,b1)中选用一个效果好的函数进行模拟,如果4月份的销售量为1.37万部,则5
5、月份的销售量为万部.7.2019皖中名校第二次联考某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:资金y(单位:万元)随收益x(单位:万元)的增加而增加,且资金总数不超过9万元,同时资金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案的函数模型为y =f (x),试研究这个函数的定义域、值域和yx的取值范围;(2)现有两个奖励方案的函数模型:y =x150+2;y =4lg x-3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求,并说明理由.8.2019武汉市部分高中联考某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方
6、式一:每天到该商场领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1 200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?9.2019山东三校联考某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足如下关系:W(x) =5(x2+2),0x2,50x1+x,2x5,其他成本投
7、入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为f (x)(单位:元).(1)求f (x)的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?第八讲函数模型及其应用1.B李某每月应纳税所得额(含税)为:18 000 - 5 000 - 2 000 - 2 000=9 000(元),不超过3 000元的部分税额为3 0003%=90(元),超过3 000元至12 000元的部分税额为6 00010%=600(元),所以李某每月应缴纳的个税金额为90+600=690(元).故选B.2
8、.D通过题中表格可知销售单价每增加1元,日均销售量减少40桶,设每桶水的价格为(6+x)元(x0),日利润为y元,则y=(6+x - 5)(480 - 40x) - 200= - 40x2+440x+480(x0), - 400,当x=440240=5.5时y有最大值,每桶水的价格为11.5元时,日利润最大,故选D.3.C由题意知,前5个小时过滤掉了90%的污染物.P=P0e - kt,(1 - 90%)P0=P0e - 5k,0.1=e - 5k,即 - 5k=ln 0.1,k= - 15ln 0.1,则由1%P0=P0e - kt,得ln 0.01=t5ln 0.1,t=10,即总共需要过
9、滤10小时,污染物的残留含量才为1%,又前面已经过滤了5小时,所以还需要过滤5小时.故选C.4.2005解法一设AB=CD=2x,取MN的中点为O,则O为圆心,连接OA,则OM=1002 - x2.所以AB+CD+MN=4x+21002 - x2,由柯西不等式知,AB+CD+MN=2(2x+1002 - x2)2(22+12x2+1002 - x2)=2005(当且仅当21002 - x2=x时等号成立),则栈道最长为2005米.解法二取MN的中点为O,则O为圆心,连接OA,设OAM=,则AM=100cos ,OM=100sin .又AB=CD,所以AB+CD+MN=4100cos +2100
10、sin =200(2cos +sin )=2005sin(+)2005(tan =2),则栈道最长为2005米.5.(1)当0x10时,f(x)=xR(x) - (100+27x)=81x - x33 - 100;当10x25时,f(x)=xR(x) - (100+27x)= - x2+30x+75.故f(x)=81x - x33 - 100(0x10), - x2+30x+75(10x25).(2)当00,f(x)单调递增;当x(9,10)时,f (x)0,f(x)单调递减.故f(x)max=f(9)=819 - 1393 - 100=386.当100.2, 不符合要求.当y=4lg x -
11、 3时,该函数在定义域上为增函数,最大值为9.yx0.2y - 0.2x0.令g(x)=4lg x - 3 - 0.2x,则g (x)=20 - xln105xln100.所以g(x)g(10)= - 10,即yx0.2.故函数y=4lg x - 3符合公司的要求.8.设促销奖的领奖活动为x天,三种方式对应的奖品总价值分别为f(x),g(x),h(x)(f(x),g(x),h(x)的单位均为元).则f(x)=40x;g(x)=10+20+30+10x=5x2+5x;h(x)=0.4+0.42+0.422+0.42x - 1=0.42x - 0.4.要使奖品总价值不超过1 200元,则f(x)1
12、 200,g(x)1 200,h(x)1 200,xN,即x30,x2+x - 2400,2x3 001,xN,解得xg(11)f(11).故促销奖的领奖活动最长设置为11天,在这11天内选择方式三会让领奖者受益最多.9.(1)由已知得f(x)=15W(x) - 20x - 10x=15W(x) - 30x=155(x2+2) - 30x,0x2,1550x1+x - 30x,2x5=75x2 - 30x+150,0x2,750x1+x - 30x,2x5.(2)由(1)得f(x)=75x2 - 30x+150,0x2,750x1+x - 30x,2x5=75(x - 15)2+147,0x2,780 - 30251+x+(1+x),2x5,当0x2时,f(x)max=f(2)=390;当2x5时,f(x)=780 - 30251+x+(1+x)780 - 302251+x(1+x)=480,当且仅当251+x=1+x,即x=4时等号成立.因为390480,所以当x=4时,f(x)max=480.故当投入的肥料费用为40元时,该珍稀水果树的单株利润最大,最大利润是480元.