1、江西省宜春市2020-2021学年高一数学上学期期末质量监测试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是第（ ）象限的角.A. 一B. 二C. 三D. 四2. 设集合，则中元素的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 4. 下列函数在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 函数的部分图像大致是（ ）A. B. C. D. 6. 设，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 7. 若奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为7，最小值为-1，则的值
2、为（ ）A. 5B. -5C. 13D. -138. 人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（ ）倍.A. B. C. D. 10009. 设函数，且方程有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10. 掷铁饼者取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者
3、双手之间的距离约为（ ）A. 1.012米B. 1.768米C. 2.043米D. 2.945米11. 已知函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）A. B. C. 0D. 12. 设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数，则_.14. 将函数的图像先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数的图像，则函数的解析式为_.15. 已知函数在值域为，则的取值范围为_.16. 对于函数、，设，若存在、使得，则称与互为“友好函数”.已知函数与互为“友好函数”，则实数的
4、取值范围是_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，求（1）求值；（2）求的值.18. 记全集，函数的定义域为集合、函数（）的值域为集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.19. 某同学学习习惯不好，把老师写的表达式忘了，只记得，.记不清楚是还是.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）（1）请你帮助该同学补充表格中的数据，写出该函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；（2）设，其中，求.20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，且的图象与函数（且）的图象相交于定点.（1）求函数的解析式，并写出的单调递减区间（不用证明）；
5、（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.21. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中，是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作.（1）令，求取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？22. 已知函数，.（1）对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程在区间上有解，求实数的取值范围.宜春市20202021学年上学期期末质量监测高一年级数学试卷（解析版）一、选择题：本题共12小题，每
6、小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是第（ ）象限的角.A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】C【解析】分析】将转化为且，并判断所在象限.【详解】由已知得，故与终边相同，即为第三象限角，故选：C.2. 设集合，则中元素的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据不等式特征用列举法表示集合进行求解即可.【详解】因为，所以当时，由可得：；当时，由可得：；当时，由可得：，当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，所以,因此中元素的个数为5.故选：C3. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将代
7、入可求得的值.【详解】，.故选：A.4. 下列函数在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性分别判断各选项中函数的单调性.【详解】函数在单调递减，故A选项错误；函数在和上单调递减，故B选项错误；函数，在单调递增，故在单调递增成立，C选项正确；函数在单调递减，故D选项错误；故选：C.5. 函数的部分图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，判断出函数是奇函数，排除B、D，然后再判断时，排除C.【详解】已知，所以函数是奇函数，排除B、D，又因为时，所以，故排除C，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入
8、手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项6. 设，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】比较、的大小关系，并比较、三个数与的大小关系，由此可得出、三个数的大小关系.【详解】且，即，又，因此，.故选：B.7. 若奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为7，最小值为-1，则的值为（ ）A. 5B. -5C. 13D. -13【答案】D【解析】【分析】先利用条件找到，再利用是
9、奇函数求出，代入即可【详解】由题意在区间上是增函数，在区间上的最大值为7，最小值为，得，是奇函数，故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（ ）倍.A. B. C. D. 1000【答案】C【解析】【分析】解出、可得答案.【详解】由可得由可得所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的倍故选：C9. 设函数，且方
10、程有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出的图象，然后条件可转化为函数的图象与的图象有三个交点.【详解】的图象如下：方程有三个不相等的实根等价于函数的图象与的图象有三个交点所以，即故选：B10. 掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）A. 1.012米B. 1.768米C. 2.043米D. 2.945米【答案】B【解析】【分
11、析】由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长【详解】解：由题得：弓所在的弧长为：；所以其所对的圆心角；两手之间的距离故选：【点睛】本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取出有效信息11. 已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）A. B. C. 0D. 【答案】D【解析】【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定，再求.【详解】因为，由题意知的最小正周期为，所以，即，所以，故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质
12、才能正确的解题，属于中档题.12. 设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换思想化简得出，求出的值域，由此可求得的取值范围，即可得解.【详解】，可得，所以，即.故选：A.【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：利用和的最值直接求；把形如的三角函数化为的形式求最值；利用和的关系转换成二次函数求最值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知幂函数，则_.【答案】【解析】【分析】由条件可得，然后可得答案.【详解】因为是幂函数，所以，即所以，所以故答案为：14. 将函数的图像先向右平移个单位，再将横坐
13、标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数的图像，则函数的解析式为_.【答案】【解析】【分析】利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式【详解】函数的图像先向右平移个单位后解析式变为：，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：函数的图像与函数的图像两者之间可以通过变化A，B来相互转化，A、影响图像的形状，、B影响图像与x轴交点的位置，由A引起的变换称为振幅变换，由引起的变换称为周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称为相位变换，由B引起的变换称为上下平移变换，它们都是平移变换.三角函数图像变换的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移.15.
14、已知函数在的值域为，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由可得，然后可建立不等式求解.【详解】由可得，因为值域为所以，解得故答案为：16. 对于函数、，设，若存在、使得，则称与互为“友好函数”.已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数的零点为，由题意可求得函数零点的取值范围是，由可得出，令，则实数的取值范围即为函数在的值域，利用二次函数的基本性质求出为函数在的值域，即为实数的取值范围.【详解】由于函数为增函数，函数为减函数，则函数为增函数，因为，.由于与互为“友好函数”，则，可得，解得，所以，函数的零点的取值范围是，由可得，令，则实数的取值范围即
15、为函数在的值域.当时，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，求（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式化简， 利用齐次式直接求解；（2）利用齐次式直接求解.
16、【详解】（1）由诱导公式得，原式.（2）原式.【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos 可以知一求二(2)关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子18. 记全集，函数的定义域为集合、函数（）的值域为集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义，可得集合A，根据同角三角函数关系将转化为二次函数形式，利用三角函数的有界性求出集合B，再结合交集补集的概念，可得结果.（2）易得，由集合之间的关系列出不等
17、式，解不等式可得结果【详解】（1）依题可知：，则，；（2），又（），.【点睛】关键点点睛：应用集合关系求解参数范围的关键及注意点： （1）关键：解答此类问题的关键是利用两集合关系，列出所求参数满足的不等式（组）； （2）注意点：当题目中含有条件，注意将关系等价转化，如.19. 某同学学习习惯不好，把老师写的表达式忘了，只记得，.记不清楚是还是.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）（1）请你帮助该同学补充表格中的数据，写出该函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；（2）设，其中，求.【答案】（1）表格见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）根据表格可得，得，代入计算
18、可得，再利用整体法计算单调递增区间；（2）代入计算，利用角的配凑，转化为，计算出，和差公式展开代入计算即可.【详解】（1）填表：第一列：；第三列：，由表可知：，.，递增区间：.（2），又，则.【点睛】关键点睛：三角函数中给值求值问题一般是用公式将所求“复角”展开成已知角的形式，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，且的图象与函数（且）的图象相交于定点.（1）求函数的解析式，并写出的单调递减区间（不用证明）；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1），递减区间为、；（2）.【解析】【分析】（1）
19、求得点，再由可求得的值，再利用奇函数的定义可求得函数在上的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的单调递减区间；（2）由题意可得出在上恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.【详解】（1）在函数的解析式中，令，可得，则，所以，定点的坐标为，则，解得，所以，当时，.当时，则，所以，当时，此时，函数的递减区间为；当时，此时，函数的递减区间为.综上所述，函数的递减区间为、；（2）依题可知：在上恒成立，令，对称轴为，当时，即时，此时，；当时，即时，此时，综上：.【点睛】结论点睛：求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2）
20、，；（3），；（4），.21. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中，是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作.（1）令，求的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？【答案】（1）；（2）当时不超标，当时超标.【解析】【分析】（1）由正弦函数的图象和性质和幂函数的单调性，即可得到t的范围；（2）当时，记，运用一次函数的单调性，可得最大值和最小值，作差即可得到，当且仅当时，即可判断【详解】（1）当时，当时，则；（2
21、）当时，记，则在上递减，在上递增，且，故，又当且仅当时，当时不超标，当时超标.【点睛】易错点睛：想要正确的运用分段函数，首先就需要对于分段函数有一个正确的认识.在很多初学者看来，分段函数是几个不同的函数组成的，并且有各自不同的表达式.其实不然，分段函数是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集，之所以有不同的表达形式，是因为自变量x在不同的取值范围里有着不同的对应法则.22. 已知函数，.（1）对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程在区间上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】
22、（1）构造，由单调性的定义得出在区间上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数的最大值.（2）方程有解，可分离参数为，在上有解，再根据的值域，求解实数的取值范围.【详解】解：（1）依题可知：，又，令，则.，在上单调递增，即的最大值为.（2），即在上有解，.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21