1、专题3 不等式一、 填空题例1 已知集合A，B，其中aR.定义ABx|xx1x2，x1A，x2B，若集合AB中的最大元素为2a1，则a的取值范围是_解析ABa2,2a，a21,2a1由题意，得2a1a21，解得0a2.答案(0,2)例2 设则三者的大小关系 解析 a=2=, b=In2=,而,所以ab, c=,而,所以ca,综上ca0，a恒成立，则a的取值范围是_解析a恒成立，amax，而(x0)，当且仅当x时，等号成立，a.答案a例7 若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_解析由x2y2xy1，得(xy)2xy1，即xy(xy)21，所以(xy)21，故xy，当xy时“”成立，所
2、以xy的最大值为.答案例8 已知且，则的取值范围是_（答案用区间表示）解析 画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=23-31=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=21+32=8.答案 （3，8）例9 当a0且a1时，函数f(x)loga(x1)1的图象恒过点A，若点A在直线mxyn0上，则4m2n的最小值为_解析易知f(x)恒过点(2,1)由于(2,1)在mxyn0上，则2mn1.又4m2n22m2n22，当且仅当m，n时等号成立答案2例10 已知点P在
3、直线x2y10上，点Q在直线x2y30上，PQ中 点M(x0，y0)满足y0x02，则的取值范围是_解析设k，则y0kx0.由题意，得所以从而有2，即0，解得k.所以.答案例11 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 BAxDyCOy=kx+解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，设与的交点为D，则由知，。 答案 例12 若不等式(1)n1(2a1)对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_解析当n为奇数时，原不等式即为(2a1)，又对一切正整数n恒成立，所以2a 1a，当n为偶数时，原不等式即为(2a1
4、)，即2a1又对一切正整数n恒成立，所以2a1，从而a，所以a的取值范围是.答案例13 已知x(0，)，则函数f(x)的最小值为_解析f(x)24，当且仅当，即tan 时取“”，因为0，所以存在x使tan ，这时f(x)min4.答案4例14 已知实数x，t，满足8x9ts，且xs，则的最小值为_解析设xtm，则9m.因xs，即x(8x9t)，所以xt0，即m0，所以9m6，当且仅当m，即xt时等号成立故所求最小值为6.答案6例15已知定义域为R的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0，则关于x 的不等式f(mx2)2f(x)f(m2x)2f(m)(0m)的解集为_解
5、析由题意，得f(x)是奇函数且在R上为增函数，所以由f(mx2)f(2m)f(m2x)f(2x)， 得f(mx22m)f(m2x2x)，即mx22mm2x2x，也即(xm)0. 又0m，所以xm，或x.答案例16若实数a，b，c满足2a2b2ab,2a2b2c2abc，则c的最大值为_解析2ab2a2b22(当且仅当ab时取等号)，(2ab)242ab0，2ab4或2ab0(舍) 又2a2b2c2abc，2ab2c2ab2c， 2c(2ab4) 又函数f(x)1(x4)单调递减， 2c，clog22log23.答案2log23二、解答题例17为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和
6、外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系式：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8得k40，因此C(x).而建造费用C1(x)6x. 故f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10) (2)由f(x)22(25)7
7、0，当且仅当3x5， 即x5时等号成立，得f(x)min70. 当隔热层修建为5 cm厚时，总费用达到最小值70万元例18设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0，即m.又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m恒成立，得m0，x1x22m0.故0x10，所以f(x)g(
8、x)mxx(xx1)(xx2)0.又f(x1)g(x1)mx10，所以函数f(x)g(x)mx在xx1，x2上的最大值为0.于是当m0时，对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上所述，m的取值范围是.例19已知函数f(x)sin xcos x和g(x)2sin xcos x. (1)若a为实数，试求函数F(x)f(x)ag(x)，x0，的最小值h(a)； (2)若对任意x0，使|af(x)g(x)3|恒成立，求实数a的取值范围解(1)F(x)f(x)ag(x)sin xcos x2asin xcos x. 设tsin xcos x，则2sin xcos xt21，所以(t)t
9、a(t21)at2ta， 由x0，得t1， 若a0，则h(a)(1)1；若a0，则(t)a2a，因为t0， 所以(t)在1，上单调递增，所以h(a)(1)1； 若a0，则当，即a1时，h(a)()a；当， 即1a0时，h(a)(1)1. 综上所述，h(a) (2)由|af(x)g(x)3|，得|a(sin xcos x)2sin xcos x3|. 设tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且由x，得t1， 所以|att22|恒成立，即t2at2或t2at2恒成立 由t2at2，得at，因为t1，且t在1，上递减， 所以t，所以a.由t2at2，得at.因为t1， 所以t2，当
10、且仅当t，即t时等号成立，所以a. 综上所述a或a.例20某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE. (1)该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20， 请据此算出H的值(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？解(1)由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124.因此，算出的电视塔的高度H是124 m.(2)由题设知dAB，得tan .由ABADBD，得tan ，所以tan().当且仅当d，即d55时，上式取等号，所以当d55时tan()最大因为0，则0，所以当d55时，最大故所求的d是55 m.