1、第5讲椭圆一、知识梳理1椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|注意若2a|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，则动点的轨迹不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b性质焦距|
2、F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2常用结论1点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.2椭圆的常用性质(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为ac，最小值为ac.(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为.(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值.二、教材衍化 1椭圆16x225y2400的长轴的长 ，离心率 答案：102已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是 答案：13椭圆
3、C：1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则F1AB的周长为 ，AF1F2的周长为 答案：2016一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(4)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(5)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)忽视椭圆定义中的限制条件；(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论1平面内一点M到两定点F1(0，9)，F2(0，9)的距离之和等
4、于18，则点M的轨迹是 解析：由题意知|MF1|MF2|18，但|F1F2|18，即|MF1|MF2|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段答案：线段F1F22已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为 答案：1或1第1课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用(典例迁移) (1)(2020黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：y21的左焦点为F，直线l：ykx(k0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|BF|的值是()A2 B2 C4 D4(2)(2020宿州模拟)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b 【解析
5、】(1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，因为OAOB，OFOF1，所以四边形AFBF1是平行四边形所以|BF|AF1|，所以|AF|BF|AF|AF1|2a4，故选C.(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.【答案】(1)C(2)3【迁移探究】(变条件)本例(2)中增加条件“PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解：由原题得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故椭圆的方程为1.椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；
6、二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|，通过整体代入可求其面积等1已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A2 B3 C5 D7解析：选D.因为a225，所以2a10，所以由定义知，|PF1|PF2|10，所以|PF2|10|PF1|7.2(2020安徽马鞍山模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且F1PF260，则SF1PF2 解析：由|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F
7、2|2，得3|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|4，则SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF24sin 60.答案：椭圆的标准方程(师生共研) (1)(一题多解)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D1(2)若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 【解析】(1)法一(定义法)：椭圆1的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2，可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为1(kb0)由题意得，解得，所以所求椭圆的标准方程为1.(2)直线与
8、坐标轴的交点为(0，1)，(2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，所以a25，所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时，b2，c1，所以a25，所求椭圆的标准方程为1.【答案】(1)C(2)y21或1(1)用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程其中常用的关系有：b2a2c2；椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤提醒当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)1已知动点M到两个定点A(
9、2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.y21 B.1C.x21 D1解析：选D.由题意有6224，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a6，c2，故a29，所以b2a2c25，故椭圆的方程为1.故选D.2设椭圆1(m0，n0)的右焦点为(2，0)，离心率为，则此椭圆的方程为 解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2n24，e，所以m2，代入m2n24，得n24，所以椭圆方程为1.答案：13已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2，0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是 解析：设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.
10、答案：1椭圆的几何性质(多维探究)角度一椭圆的长轴、短轴、焦距 (2020抚州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A8 B7 C6 D5【解析】因为椭圆1的长轴在x轴上，所以解得6mb0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D【解析】(1)由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D.(2)因为OPMN是平行四边形，所以MNOP且MNOP，故yN
11、，代入椭圆方程可得xN，所以kONtan .又，所以1，所以ab，a23(a2c2)，解得0，故选A.【答案】(1)D(2)A求椭圆离心率或其取值范围的方法(1)求出a，b或a，c的值，代入e21直接求(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2a2c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)角度三与椭圆性质有关的最值问题 已知P在椭圆y21上，A(0，4)，则|PA|的最大值为()A. B. C5 D2【解析】设P(x0，y0)，则由题意得x24(1y
12、2)，所以|PA|2x(y04)24(1y)y8y0163y8y0203，又1y01，所以当y01时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5.故选C.【答案】C求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0eb0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3，0) B(4，0) C(10，0) D(5，0)解析：选D.因为圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心坐标为(3，0)，所以c3.又b4，所以a5.因为椭
13、圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(5，0)2若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8解析：选C.由椭圆1可得F(1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(2x2)，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，2x2，当且仅当x2时，取得最大值6.3已知椭圆1(ab0)，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PFx轴，若|PF|AF|，则椭圆的离心率为 解析：因为点P在椭圆上，且PFx轴，所以|PF|，又因为|AF|ac，|PF|AF|，所以4(a2c2)a(ac)，即4(ac)a，则3a4c，即.答案：基础题组练1已知正数m
14、是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()A(，0) B(0，)C(，0)或(，0) D(0，)或(，0)解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m216，即m4，所以椭圆x21的焦点坐标为(0，)，故选B.2(2019高考北京卷)已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2 B3a24b2 Ca2b D3a4b解析：选B.由题意得，所以，又a2b2c2，所以，所以4b23a2.故选B.3曲线1与曲线1(kb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D1解析：选D.由椭圆的
15、定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1，故选D.5(2020昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()A. B. C. D3解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|，|AF2|.所以.故选A.6
16、若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 解析：由题意可得bc，则b2a2c2c2，ac，故椭圆的离心率e.答案：7(2020江西南昌模拟)若椭圆1(ab0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 解析：由题意可知e，2b4，得b2，所以解得所以椭圆的标准方程为1.答案：18(2019高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 解析：通解：由椭圆C：1，得c4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|F1F2|2c8，于是由椭圆的定义得|MF1|MF2|12，所以|MF2|12|MF1|4，易
17、知MF1F2的底边MF2上的高h2，所以|MF2|h|F1F2|yM，即428yM，解得yM，代入椭圆方程得xM3(舍去)或xM3，故点M的坐标为(3，)优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|F1F2|8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|exM6xM68，解得xM3，代入椭圆方程得yM，故点M的坐标为(3，)答案：(3，)9已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(3，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求F1PF2的面积解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意得因此a5，b4，所以椭圆的标准方程为1.(2)易知|yP|
18、4，又c3，所以SF1PF2|yP|2c4612.10分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2，)，所以t12，或t2.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，所以b212.故椭圆的方程为1或1.综合题组练1(2020合肥市第二次质量检测)已知椭圆1(ab0)的左、右
19、焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D解析：选D.如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1PAP，结合F2BAP知F1PF2B.又|F1B|F2B|，所以BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|OF2|，即bc，所以a2b2c22c2，即ac，所以椭圆的离心率e，故选D.2(2019高考全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D1解析：
20、选B.由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12()2，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B.3已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.
21、(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当且仅当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.4(2019高考全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2，又由知y2，故b4.由得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)