1、陕西省榆林市第十中学2021届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理（含解析）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合，进而求出二者的交集即可.【详解】由，得，所以集合，又，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集，考查对数不等式的解法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2. 已知命题“，”，则为( ）A. ，B. ，C. 不存在，D. ，【答案】A【解析】【分析】全称量词改成存在量词,等于改成不等于即可得到.【
2、详解】因为“，”,所以:.故选A.【点睛】本题考查了含一个量词的命题的否定,属于基础题.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由可得，由也可得，观察两个范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由可得，由可得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出的取值，本题是基础题.4. 复数z满足，则（ ）A. iB. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法求出z，再求.【详解】由题得，所以.故选：B.【点睛】该题主要考查复数的除法运算和共轭复数，意
3、在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题目.5. 函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数定义域以及函数值正负识别函数图象，并进行选择.【详解】当时，所以舍去B,C;当时无意义，所以舍去D;故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，考查基本分析判断能力，属基础题.6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出、的范围，与临界值0和1比较即可得结论.【详解】，所以故选：D【点睛】本题主要考查了指、对、幂大小关系，属于中档题.7. 将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线假设过后甲桶和乙桶的水量相等
4、，若再过甲桶中的水只有升，则m的值为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】通过时水量相等得到与之间的关系，再代入时的函数关系式中，求得，最终求得.【详解】因为注水过后甲桶和乙桶的水量相等，所以，解得若后水量为升，所以 即，解得故选：A.【点睛】本题考查函数的应用，关键是能够利用函数关系式建立起水量和时间之间的等量关系，考查学生的审题能力与就算能力，属于基础题.8. 素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式（是素数）,法国数学家马丁梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第个梅森素数是,它是目前最大的梅
5、森素数.已知第个梅森素数为,第个梅森素数为,则约等于（参考数据：）（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两数远远大于1, 的值约等于,设,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出的值.【详解】因为两数远远大于1,所以的值约等于,设,因此有.故选C【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.9. 已知函数的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦函数的周期性可得，进而求得，再利用时取得最大值可求得值.【详解】在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，函数的周期满足，由此
6、可得，解得，函数表达式为.又当时取得最大值2，可得，取，得.故选：A.【点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.10. 如图，是圆O直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（ ）A. 13B. 7C. 5D. 3【答案】C【解析】【分析】根据向量的加法和减法法则表示、，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果【详解】连结 ，则， ， 所以.故选：C.【点睛】该题考查向量运算及向量的数量积公式的应用，两个向量加减法及其几何意义，属于中档题目11. 函数，则（ ）A. 在上递增B. 在上递减C. 在上递减D. 在上递增【答案】C【解析
7、】【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对进行求导，根据导数来研究函数的增减性【详解】，故，故在和单调递增，即在上递减答案选C【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质12. 已知函数f(x)则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是（ ）A. (1，2)B. (，2C. (，1)(2，)D. (，12，)【答案】D【解析】【分析】分别讨论x0和x0，方程有解时，m的取值.【详解】当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；当x0时，xf(x)m，即，解得m2，即实数m的取值范围是
8、故选：D【点睛】本题考查了方程有解求参数的取值问题，考查了计算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已如向量，若，则_【答案】【解析】【分析】首先求出坐标，再求出，求出，写出方程即可求出的值.【详解】因为，所以，因为，所以，即，所以，解得：，故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的模和向量的数量积，属于中档题.14. 已知函数为奇函数，则_【答案】【解析】【分析】由函数为奇函数，可得，代入即可得的值.【详解】因为函数为奇函数，所以，所以恒成立，即恒成立，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.15. 已
9、知定义在上函数满足，且，则_【答案】【解析】【分析】根据题意得函数为周期函数，周期为，再根据周期性求函数值即可.【详解】解：因为函数满足，所以，所以函数是周期函数，周期为，由于，所以故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的周期性求函数值，是基础题.16. 已知数列满足，则_，_【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】首先求得的值，然后结合递推关系式求解时的通项公式，即可确定数列的通项公式.【详解】当时，当时，由题意可得：，两式作差可得：，故，因为，不满足，所以.故答案为：3；.【点睛】本题主要考查由递推关系式求数列通项公式的方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.三、解答题
10、：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 设等差数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由条件可得，解出即可.(2)由，用裂项相消法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，由条件有 解得 所以（2）所以【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和利用裂项相消法求和，属于基础题.18. 已知的外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设（1）求角B；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）边角转化得，即可得到，由，可求出，进而可得到角；（2）由正弦定理，可求出，进而可求出，从而，计算即可.【详解】（1
11、）由正弦定理，可得，因为，所以，因为，所以，则，又，所以.（2）由正弦定理，得，由，故为锐角，则，所以.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19. 已知函数，其导函数的图象关于轴对称（）求实数的值；（）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围【答案】（），（）【解析】【分析】（）求导，导函数的图象关于轴对称得，代入函数解析式，联解可得.（）问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围.作出两函数图像可得解.【详解】（）.导函数的图象关于轴对称，.又，解得.（）由（），得. 令，解得. 当 或时， 在上分别单调
12、递增.又当时， 在上单调递减.的极大值为，极小值为.实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用函数零点存在情况求参数问题.利用函数零点存在情况求参数的策略:(1)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解(2)通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现20. 设（1）求的单调增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值【答案】（1）的单调递增区间是（2）
13、【解析】【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为；（1）令，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用为锐角和可求得；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.【详解】（1）令，解得：的单调递增区间为：（2） ，即由余弦定理得：（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）即面积的最大值为：【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.21. 数列满足（1）求证：数列为等差数列；（2
14、）求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）将两边同时除以，即可证数列等差数列；（2）利用（1）的结论可以求出数列的通项公式，再利用乘公比错位相减求和.【详解】（1）将两边同时除以，可得：，即所以证数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）得，所以，,两式相减得： ，所以【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系式求数列的通项公式，考查了乘公比错位相减求和，属于中档题.22. 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程(2)由导数可知存在极小值点，即最小值，下证【详解】（1），又由题意得，所以，即切线方程为.（2）证明：由（1）知，所以在区间单调递增，由于，且，所以，使得，即有唯一的根，记为，则，对两边取对数，得，整理得，因为时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以.当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即.【点睛】本题考查了运用几何意义求函数的切线方程，在求解不等式时要求出函数的最小值，由导数求得极值点，代入化简运用不等式求出结果，属于中档题- 18 -
