1、辽宁省名校2021届高三数学第一次模拟联合考试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1已知集合Ux|1x3，Ax|x22x30，则UA（）A1B3C1，3D2复数（）A13iB1+3iC1+3iD13i3以点（3，1）为圆心，且与直线x3y+40相切的圆的方程是（）A（x3）2+（y+1）220B（x3）2+（y+1）210C（x+3）2+（y1）210D（x+3）2+（y1）2204在（2x）6展开式中，x2的系数为（）A240B240C160D1605已知sin+cos，且（0，），sincos（）ABCD6已知抛物线C：y22px（p0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|x0，则
2、p（）A1B2C4D57某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A4BCD8已知函数f（x）x+若曲线yf（x）存在两条过（2，0）点的切线，则a的取值范围是（）A（，1）（8，+）B（，1）（8，+）C（，0）（8，+）D（，8）（0，+）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2
3、0分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）根据对比图，其中正确的为（）A近三年容易题分值逐年增加B近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年C2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上D近三年难题分值逐年减少10设正实数a，b满足a+b1，则（）A+有最小值4B有最大值C有最大值Da2+b2有最小值11中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存
4、的特点若函数yf（x）的图象能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f（x）为这个圆的“和谐函数”给出下列命题中正确的有（）A对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个B函数f（x）ln（x+）可以是某个圆的“和谐函数”C正弦函数ysinx可以同时是无数个圆的“和谐函数”D函数f（x）2x+1不是“和谐函数”12已知f（x），则下列有关函数g（x）ff（x）f（x）在3，5上零点的说法正确的是（）A函数g（x）有5个零点B函数g（x）有6个零点C函数g（x）所有零点之和大于2D函数g（x）正数零点之和小于4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13写出两个与终边相同的角 142021年的两
5、会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为 15在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，2，CE交AD于F若x+y，则x+y ； 16已知数列an满足：a11，an+12an+1，若bn+1（n2t）（an+1），b1t，且数列bn是单调递增数列，则实数t的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B+cos2Ccos2A1sinBsinC（1）求A；（2）若a，求ABC的面积的最大值18已知首项为2的数列an中，前n项和Sn满足Sntn2+n（tR）（1）求实数t的值及数列an的通项公式an；（2）将bn，bn2+an，bn2an，三个条件任选一个补充在题中，求数列bn的前n项和Tn19目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚战三个团队两年内各自出成果的概率分别为，m，若三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为（1）求吉利研
7、究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望20正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体（1）求新多面体的体积；（2）求二面角ABFC的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证
8、明21已知函数f（x）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于x0，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围22已知椭圆C：+1（ab0）的焦距为2b，经过点P（2，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM，PN分别交椭圆于AB，PQAB，Q为垂足，是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由参考答案一、选择题（共8小题）.1已知集合Ux|1x3，Ax|x22x30，则UA（）A1B3C1，3D解：集合Ux|1x3，Ax|x22x30x|1x3，UA1，3故选：C2复数（）A13iB1+3iC1+3iD13i解：故选：A3以点（3，1）为圆心，且
9、与直线x3y+40相切的圆的方程是（）A（x3）2+（y+1）220B（x3）2+（y+1）210C（x+3）2+（y1）210D（x+3）2+（y1）220解：r，所求圆的方程为（x3）2+（y+1）210故选：B4在（2x）6展开式中，x2的系数为（）A240B240C160D160解：展开式的通项公式为TC，令r2，则展开式中含x2项的系数为C，故选：A5已知sin+cos，且（0，），sincos（）ABCD解：把sin+cos，两边平方得：（sin+cos）21+2sincos，即2sincos0，0，即sin0，cos0，sincos故选：C6已知抛物线C：y22px（p0）上一点
10、M（x0，2）到焦点F的距离|MF|x0，则p（）A1B2C4D5解：由抛物线的定义可知，|MF|x0+，|MF|x0，x0+x0，即x0p，点M（x0，2）在抛物线y22px上，（2）22px0，由解得，p2或2（舍负），故选：B7某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A4BCD
11、解：设半球的半径为R，则R2，小圆锥的高为4，大圆锥的高为3，整个保鲜封闭装置的体积为，小圆锥的半径为r，则r2R2（43）22213，所以，故小圆锥的体积为，所以充氮区空间最小可以为故选：B8已知函数f（x）x+若曲线yf（x）存在两条过（2，0）点的切线，则a的取值范围是（）A（，1）（8，+）B（，1）（8，+）C（，0）（8，+）D（，8）（0，+）解：f（x）x+f（x）1，设切点坐标为（x0，x0+），则切线方程为：yx0（1）（xx0），又切线过点（2，0），可得x0（1）（2x0），整理得2x02+ax0a0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足a28（a）0，解得a
12、0或a8，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）根据对比图，其中正确的为（）A近三年容易题分值逐年增加B近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年C2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上D近三年难题分值逐年减少解：根据对比图，容易题这三年的分值分别为40，55，96，逐年增加，故选项A正确；2018年中档题分值76，占比最高，故选项B错误；2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的100%90%，故选项C正
13、确；难题分值分别为：34，46，12，并不是逐年减少，故选项D错误故选：AC10设正实数a，b满足a+b1，则（）A+有最小值4B有最大值C有最大值Da2+b2有最小值解：正实数a，b满足a+b1，所以2+4，当且仅当且a+b1，即ab时取等号，此时取得最小值4，A正确；ab，当且仅当ab时取等号，此时取得最大值，B错误；（）2a+b+21+21+a+b2，当且仅当ab时取等号，故，即有最大值，C正确；a2+b2（a+b）22ab12ab，当且仅当ab时取等号，此时a2+b2取得最小值，D正确故选：ACD11中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆
14、形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点若函数yf（x）的图象能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f（x）为这个圆的“和谐函数”给出下列命题中正确的有（）A对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个B函数f（x）ln（x+）可以是某个圆的“和谐函数”C正弦函数ysinx可以同时是无数个圆的“和谐函数”D函数f（x）2x+1不是“和谐函数”解：选项A：因为过圆心的直线都可以将圆的面积周长同时平分，所以对于任意一个圆，其“和谐函数”有无数个，故A错误；选项B：因为函数f（x）ln（x+）是奇函数，满足和谐函数的定义，故B正确；选项C：将圆的圆心放在正弦
15、函数的对称中心处，则正弦函数是该圆的和谐函数，故有无数个圆成立，故C正确；选项D：将圆的圆心放在函数f（x）2x+1图象上，则有无数个圆成立，故函数是和谐函数，故D错误，故选：BC12已知f（x），则下列有关函数g（x）ff（x）f（x）在3，5上零点的说法正确的是（）A函数g（x）有5个零点B函数g（x）有6个零点C函数g（x）所有零点之和大于2D函数g（x）正数零点之和小于4解：作出函数f（x）的图象如图所示，令f（x）t，则t，当时，函数g（x）ff（x）f（x）可变为，令h（t）0，即，即，则，解得，所以f（x）t，由图可知，方程f（x）有2个不同的实根x1，x2，且x1+x23；当t
16、（1，+）时，函数g（x）ff（x）f（x）可变为，令p（t）0，即，又因为，所以方程有且仅有1个实根，则f（x）t，又，由图可知，方程f（x）t有4个不同的实根x3x4x5x6，由图可知，x3+x41，又|log2（x1）|t，所以log2（x51）t，log2（x61）t，则，所以（x51）（x61）x5x6（x5+x6）+11，整理可得x5x6x5+x62+24，所以函数g（x）有6个零点，故选项A错误，选项B正确；x1+x2+x3+x4+x5+x63+1+42，故选项C正确，因为x5+x62+24，故选项D错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13写出两个与终边相
17、同的角，（答案不唯一）解：与终边相同的角kZ，当k1时，当k2时，故答案为：，（答案不唯一）142021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为解：某医科大学优秀毕业生小李和小王在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，基本事件总数n12，其中小李选择康庄且小王不选择夹山包含的基本事件个数m2，则小李选择康庄且小王不选择夹
18、山的概率P故答案为：15在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，2，CE交AD于F若x+y，则x+y；解：如图：过E作EMAD，且EMBCM由2，D是BC的中点得：，故，即所以所以故易知由已知得所以（）（）故答案为：16已知数列an满足：a11，an+12an+1，若bn+1（n2t）（an+1），b1t，且数列bn是单调递增数列，则实数t的取值范围是解：因为an+12an+1，即an+1+12（an+1），所以数列an+1是首项为a1+12，公比为2的等比数列，则有an+122n1，即an2n1，所以bn+1（n2t）（an+1）（n2t）2n，则bn（n12t）2n1，n2，因为数列
19、bn是单调递增数列，所以（n2t）2n（n12t）2n1对n2恒成立，即n2t1对n2恒成立，所以，又b2b1，即2（12t）t，解得t，所以实数t的取值范围是故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B+cos2Ccos2A1sinBsinC（1）求A；（2）若a，求ABC的面积的最大值解：（1）因为cos2B+cos2Ccos2A1sinBsinC，所以1sin2B+1sin2C（1sin2A）1sinBsinC即sin2B+sin2Csin2AsinBsinC，由正弦定理得b2+c2a2b
20、c，由余弦定理cosA，由A为三角形内角得A；（2）2，故b2sinB，c2sinC，SABC4sinBsinCsinBsin（），（），sin2B+，sin2Bcos2B，sin（2B）+，因为0，所以2B，故sin（2B）1，所以0sin（2B）+故ABC的面积的最大值18已知首项为2的数列an中，前n项和Sn满足Sntn2+n（tR）（1）求实数t的值及数列an的通项公式an；（2）将bn，bn2+an，bn2an，三个条件任选一个补充在题中，求数列bn的前n项和Tn解：（1）由题可知a12，因为Sntn2+n，令n1，可得a1S1t+12，解得t1，所以Snn2+n，Sn1（n1）2+
21、（n1），所以anSnSn1n2+n（n1）2（n1）2n，当n1时，a12也适合上式，所以数列an的通项公式an2n（2）若选bn（），所以Tn（1+）（1）若选bn2+an4n+2n，所以Tn+n2+n+n2+n若选bn2an2n4n，所以Tn241+442+643+2n4n，4Tn242+443+644+2n4n+1，两式相减可得3Tn241+242+243+24n2n4n+122n4n+1（2n）4n+1，所以Tn（n）4n+1+19目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚战三个团队两
22、年内各自出成果的概率分别为，m，若三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望解：（1）三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为，则，解得，“吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果”的对立事件为“吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内都没有出成果”，则吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率为；（2）根据题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，所以P（X0）；P（X1）；P（X2）；P（X3）所以X的分布列为：X 0 1 2 3P X
23、的数学期望为E（X）0+1+2+320正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体（1）求新多面体的体积；（2）求二面角ABFC的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明解：（1）连接BE、FH，交于O点，连接OA，四棱锥ABFEH的高为AO，四棱锥AB
24、FEH的体积为VSBFEHAO，取PT中点N，连接NQ、NR，由NQPT，NRPT，三棱锥QPTR的体积为VSNQRPTa，所以新多面体的体积为2V+V2+（2）取EF中点M连接AM、MC、MO，设AMO，cos，由几何体特征知，EFMA，EFMC，二面角AEFC的平面角为AMC2，cos22cos21，因为二面角ABFC与二面角AEFC相等，所以二面角ABFC的余弦值为（3）新多面体为7面体，证明如下：取AF中点H，连接EH、BH，OH，设OHE，sin因为AFHE，AFHB，所以二面角BAFE的平面角为BHE2，cos212sin2，取RQ中点G，连接NG，设QNG，sin，因为NQPT，
25、NRPT，所以二面角QPTR的平面角为QNR2，cos212sin2，所以2与2、2都互补，于是把正四面体QPTR和正八面体AEFBHC拼接起来后，相邻面共面，所以新多面体为7面体21已知函数f（x）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于x0，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围解：（1）由于f（x），所以f（x），当cosxsinx0，cos（x+）0，即x（2k，2k+）（kZ）时，f（x）0，当cosxsinx0，cos（x+）0，即x（2k+，2k+）（kZ）时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间为（2k，2k+）（kZ），单调递减区间为（2k+，2k+）（kZ）；（2）令g（
26、x）f（x）kxkx，要使f（x）kx总成立，只需x0，时g（x）max0，对g（x）求导，可得g（x）k，令h（x），则h（x）0（x0，）所以h（x）在0，上为减函数，而h（0）1，h（），所以h（x），1；对k分类讨论：当k时，g（x）0恒成立，所以g（x）在0，上为增函数，所以g（x）maxg（），即g（x）g（），由0，解得：k，故k，无解；当k1时，g（x）0在上有实根x0，因为h（x）在0，上为减函数，所以当x（x0，）时，g（x）0，所以g（x0）g（0）0，不符合题意；当k1时，g（x）0恒成立，所以g（x）在0，上为减函数，则g（x）g（0）0，故成立；综上，可得实数k的取
27、值范围是1，+）22已知椭圆C：+1（ab0）的焦距为2b，经过点P（2，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM，PN分别交椭圆于AB，PQAB，Q为垂足，是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由解：（1）由题意可得，解得：a28，b22，所以椭圆的标准方程为：+1；（2）当M，N分别为椭圆的短轴上的端点时，设M（0，），N（0，），则可得直线AB为y轴，由PQAB可得Q在y轴上，当M，N表示短轴的端点时，设直线AB的方程为ykx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t280，x1+x2，x1x2，直线PA：y1（x+2）（x+2），令x0可得y，即M（0，）同理可得N（0，），由题意，所以+0整理可得：（4k+2）x1x2+（4k+2t+2）（x1+x2）+8t0，代入可得：（4k+2）（）+（4k+2+2t）（）+8t0，整理可得：k（42t）+t22t0，当时，不论k为何时都成立，即t2时恒成立，这时直线AB的方程为：ykx2，所以直线AB恒过T（0，2），因为PQAB，所以PQQT，所以Q是以PT为直径的圆上的点，又因为P（2，1），所以它的圆心为（1，），所以设R（1，），则|QR|为定值，使|QR|PT|，所以存在R使得|QR|为定值
