1、江西省宜春市2020届高三数学5月模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用解绝对值不等式中的定义法解出集合，再根据交集的运算即可求出【详解】因为集合，所以故选：B【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及集合的运算，属于基础题2.在中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是 （ ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形【答案】C【解析】试题分析：因为，由正弦定理得，因为，所以，即，所以，所以，所以三角
2、形为等腰三角形，故选C考点：三角形形状的判定3.已知函数在处的导数为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数的定义即可求出【详解】故选：A【点睛】本题主要考查导数的定义的应用，属于基础题4.在的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. 15D. 5【答案】C【解析】【分析】根据各式相乘能产生情况，利用分步乘法计数原理，分类加法计数原理和排列组合知识即可求出【详解】因为，所以当从第一个式子中选择，则后面的式子中有种可能出现，相乘得，；当从第一个式子中选择，则后面的式子中有种可能出现，相乘得，即的系数为故选：C【点睛】本题主要考查多项式相乘的展开式中指定项的系数的求
3、法，可以使用二项式定理，也可以使用分步乘法计数原理，分类加法计数原理以及排列组合知识求出，属于基础题5.函数，若满足恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由函数的解析式判断出函数的奇偶性和单调性，即可将转化为，再根据分离参数法，即可求出【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数是定义在上单调递增的奇函数于是，即恒成立，所以实数m的取值范围为故选：B【点睛】本题主要考查函数的性质的应用，涉及奇偶性和单调性的综合运用，以及含参的一元二次不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力，属于基础题6.在新冠肺炎疫情期间，某医院有10名医生报名参加“援鄂医疗
4、队”，其中有3名女医生.现从中抽选5名医生，用X表示抽到男医生的人数，则的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率计算公式，分别求出“从10名医生中抽选5名医生”的事件总数和“从10名医生中抽选5名医生，其中有3名男医生”包含的基本事件数，即可求出【详解】“从10名医生中抽选5名医生”的事件总数为，“从10名医生中抽选5名医生，其中有3名男医生”包含的基本事件数为，所以故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题7.元朝著名的数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如
5、图所示的程序框图，若输入的，输出的，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图的算法功能，模拟程序运行，即可求出【详解】根据程序框图可知，直到型循环结构，先执行循环体，条件不满足，继续执行循环体，条件满足，跳出循环体，所以，当第一次执行循环体时，条件不满足，继续执行循环体；当第二次执行循环体时，条件不满足，继续执行循环体；当第三次执行循环体时，条件不满足，继续执行循环体；当第四次执行循环体时，条件不满足，继续执行循环体；当第五次执行循环体时，条件满足，跳出循环体，输出，即可知判断框中条件为：故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解与运用，补
6、全框图中条件，属于基础题8.如图，在四边形中，E是边上一点且，F是的中点，则下列关系式不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算，即可判断各选项的真假【详解】对于A，因为，所以A正确；对于B，因为，而，代入可得，所以B正确；对于C，因为，而，所以，C不正确；对于D，因为，而，代入得，所以D正确；故选：C【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量加法，减法，向量数乘的运算律等知识的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题9.已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.，若点M为的中点，则下列说法正确的个数为（ ）（1）平面 （2）四棱锥的体积为12（
7、3）平面 （4）四棱锥外接球的表面积为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】作出图象，根据相关知识即可判断各命题的真假【详解】作出图象，如图所示：，对于（1），因为侧面平面，而底面为矩形，所以平面，即有，而，点M为的中点，所以，故平面，（1）正确；对于（2），因为侧面平面，所以点到平面的距离为，而点M为的中点，所以点到平面的距离为，故四棱锥的体积为，（2）正确；对于（3），取中点，连接，所以，且，而，故，且，因此四边形为梯形，所以与的延长线交于一点，故直线与平面相交，所以（3）不正确；对于（4），根据四棱锥的侧面为直角三角形，底面为矩形，结合球的几何特征可知，四棱锥
8、的外接球的球心在过底面的外心且与底面垂直的直线上，同样，四棱锥的外接球的球心在过侧面的外心(的中点)且与侧面垂直的直线上，所以四棱锥的外接球的球心即是底面的外心，外接球半径为，故四棱锥外接球的表面积为，（4）正确故选：C【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，线面平行的判断，四棱锥的体积求法，以及四棱锥的外接球的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力，属于中档题10.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳
9、鱼太极图”.在某个太极图案中，阴影部分可表示为，设点，则的最大值与最小值之差为（ ）A. 19B. 18C. D. 20【答案】A【解析】【分析】作出可行域，根据平移法即可求出的最大值与最小值【详解】作出可行域，如图所示：，因为，越往上移，越大，越往下移，越小，所以，当直线：平移至与圆相切时，最小，即有，解得或（舍去）；所以，当直线：平移至与圆相切时，最大，即有，解得或（舍去），因此，的最大值与最小值之差为故选：A【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的解法应用，解题关键是正确做出可行域，根据解析几何知识判断最值位置，属于中档题11.已知定义在上的函数（）的最大值为，则正实数的取值个数最多为（
10、）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】换元，令，讨论与的大小关系，由单调性即可求出函数的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数的取值个数【详解】令，当时，即，根据正弦函数的单调性可知，解得；当时，即，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以设，因为，在上递减，所以在上递减，存在，使得，因此在上递增，在上递减，而，由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，即说明只有一个实根，综上可知，正实数的取值个数最多为2.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数在闭区间上的最值求法，以及利用导数求函数的零点，考查了学生的转化能力和分类讨论思想的应用，属于较难题12.已知抛物线
11、C方程为，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线l的方程为：，与抛物线联立求出，再利用导数的几何意义分别求出抛物线在A，B两点处的切线方程，得到的坐标，即可得到的表达式，然后根据基本不等式即可求出【详解】因为抛物线C方程为，所以其焦点为，所以可设直线l的方程为：，（斜率不存在的直线显然不符合题意），联立抛物线方程可得，所以，又，所以抛物线在A处的切线方程为：，即，令，可得点的坐标为，同理可得，点的坐标为，所以，当且仅当时取等号，即的取值范围为故选：B【点
12、睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系应用，导数的几何意义的应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于较难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C：（）的离心率为，则C的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】由题可知，双曲线的渐近线方程为：，而，结合，即可求出【详解】因为双曲线的渐近线方程为：，而，所以故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，由离心率求渐近线方程，属于基础题14.若复数满足方程，且在复平面内对应的点位于第一象限，则_.【答案】【解析】【分析】根据实系数求根公式即可求出复数Z，再根据在复
13、平面内对应的点位于第一象限，即可求出【详解】因为，所以方程的解为，而在复平面内对应的点位于第一象限，所以在复平面内对应的点位于第四象限，即故答案为：【点睛】本题主要考查实系数方程的求解，以及复数的几何意义的应用，属于基础题15.已知数列中，若对任意的，任意的使得恒成立，则实数t的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先根据累加法和裂项相消法可求出的表达式，再由数列的单调性即可求出的范围，然后根据更换主元法即可求出【详解】因为，即，所以，依题有，在上恒成立，设，所以只需，即，解得或故答案为：【点睛】本题主要考查累加法，裂项相消法，更换主元法的应用，数列不等式恒成立问题的解法应用，以及一元二次不等
14、式的解法应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题16.已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，再分离参数转化为，然后求出函数的最大值，即解出【详解】可变为， 再变形可得，设，原不等式等价于，因，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而，当时，所以由可得，因为，所以设，所以函数在上递增，在上递减，所以，即当时，不等式在恒成立；当时，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查构造函数法的应用，利用函数的单调性解不等式，分离参数法的应用，导数在研究函数中的应用，解题关键是构造合适的
15、函数模型，意在考查学生的数学建模能力，转化能力和数学运算能力，属于难题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知为等比数列，且各项均为正值，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质，可化为，即可求得，从而可求出数列的通项公式；（2）由可得，根据裂项相消法即可求出【详解】（1）设数列的公比为q，由得，所以 由条件可知，故，由，得，故数列的通项公式为；（2）因为，故 所以数列的前
16、n项和.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，等比数列的通项公式的求法，裂项相消法的应用，易错点是通项公式拆分时的等价变形，易忘记系数，以及求和时的各项相互抵消时余下的项数，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题18.如图，四棱锥的侧棱与四棱锥的侧棱都与底面垂直，.（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点M，使平面与平面所成角的正弦值为？如果存在，指出M点的位置；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M点与F点重合【解析】【分析】（1）根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得，再根据勾股定理分别求出，即可证得四边形为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理即可证出；（
17、2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，得到点的坐标，再分别求出平面的法向量和平面的法向量，根据二面角的向量计算公式，即可建立方程，解出，即可确定M点的位置【详解】（1），同理可得 又，四边形为平行四边形，则，而平面，平面平面. （2）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则， 则， 令（），则 设平面的法向量，则 即，得 又平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则， ，则 即：M点与F点重合时满足题意.【点睛】本题主要考查线面平行判定定理的应用，以及利用向量法解决二面角问题，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题19.已知函数，且与的图象有一条斜率为1的
18、公切线（e为自然对数的底数）.（1）求；（2）设函数，证明：当时，有且仅有2个零点.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，分别求出函数图象上斜率为1的切线，再根据切线方程为同一方程即可求出；（2）根据第一问结果可得，求导，换元，令，通过二次函数知识判断的符号，得其单调性，求出极值，再结合零点存在性定理即可求出【详解】（1）令，可得，. 在处的切线方程为，即.令，在处的切线方程为，即，故， 可得.（2）证明：由（1）可得， 令，则，当时，有两根，且，由，得，在上，在上， 此时，.又时，时，.故在和上，各有1个零点.所以时，有2个零点.【点睛】本题主要考查导数的
19、几何意义的应用，利用导数求函数的零点，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题20.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C与x轴交于A、B两点，直线和与直线l：分别交于点M，N，试探究以为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标：若否，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，和【解析】【分析】（1）根据的一边为定值，由此可知当P为C的短轴顶点时，面积最大，再结合题目条件，即可解出，得到椭圆C的方程；（2）由（1）中方程，不妨设，根据，设直线的方程为，即可得直线的
20、方程为，与直线联立，可得到点的坐标，由此得到以为直径的圆的方程，即可求出所有定点的坐标【详解】（1）椭圆C的离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值. ，解得， 故椭圆C的方程为：. （2）不妨设，则， 设：，：，所以， 以为直径的圆是，即令，得，解得，故以为直径的圆恒过和【点睛】本题主要考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程以及由椭圆的几何性质解决和定值，定点有关的问题，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题21.超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生
21、素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为
22、p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；（2）若P与抗生素计量相关，其中，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有. （i）证明：为等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，【答案】（1）（且）；（2）（i）证明见解析；（ii）8.【解析】【分析】（1）根据检验方式可知，的取值只为，易求得，而的可能取值为，再分别求出对应概率即可得到，列出等式即可解出；（2）（i）先根
23、据关系式赋值，归纳猜出，再根据数学归纳法证明即可；（ii）依题可知，解不等式， ，构造函数（），由其单调性即可求出的最大值【详解】（1）当进行逐份检验时，；当进行混合检验时， 则 ， 则，即（且）. （2）（i）当时，有 则猜想： 下面用数学归纳法进行证明：当时，满足假设当时， 则当时， 设（且），则 整理可得： 或（舍去） 由可得：对一切都成立.即为等比数列.（ii）依题可知： 由（1）可知： 令（），则 所以在上单调递增，在上单调递减， 则k的最大值为8.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的数学期望的求法，数学归纳法的应用，以及利用导数解不等式，意在考查学生的数学抽象能力，数学运算能力，逻
24、辑推理能力，属于难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，且直线l与曲线C交于M、N两点.（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；（2）若曲线C外一点恰好落在直线l上，且，求m，n的值.【答案】（1）直线l：；曲线C：；（2）或【解析】【分析】（1）将两式相加消去参数，即可求得直线l的普通方程，根据极坐标和直角坐标互化公式即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）先将直线的参数方
25、程化成标准式，代入曲线方程，求得，再利用的几何意义将转化为的方程，结合点在直线上可得，解方程组即可求出的值【详解】（1）将两式相加可得，直线l的普通方程为：，因为，所以曲线C的直角坐标方程为：（2）直线l参数方程为：（t为参数）代入曲线方程得： 设M，N对应的参数分别为，：则 曲线C外，同号，或 或【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及直线参数方程标准式中的几何意义的应用，属于基础题选修4-5：不等式选讲23.已知函数（）.（1）若，求不等式的解集；（2）问：是否存在最小值？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存，【解析】【分析】（1）根据零点分段法，即可解出；（2）先根据分段函数的单调性可求出，再将变形配凑成，即可根据基本不等式求出最小值【详解】（1）依题意： 当时，则 当时，得 当时，得 综上，原不等式解集为（2）依题意： 则 当且仅当即，时，最小值为【点睛】本题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，分段函数最值的求法，以及利用基本不等式求最值，属于基础题