1、江西省宜春市2020届高三数学5月模拟考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，故选C.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2.若复数，则的虚部是（ ）A. B. C. -1D. 1【答案
2、】C【解析】【分析】由复数求模求得分子为2，再分子分母同乘，化简观察可得答案.【详解】因为，所以虚部是故选：C【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数求模与实部虚部的辨析，属于简单题.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为，则，分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据平均数与方程公式推导平均数与方差的变化即可.【详解】由题可知, .故选：D【点睛】本题主要考查了平均数与方差
3、的变换性质,需要根据平均数与方差的公式推导关系,属于基础题.4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的孙子歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环， 的输出值为 ，故选A.5.已知，则向量与向量的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据已知可得：，所以，所以夹角为，故选择C考点：向量的运算6.已知等
4、差数列中，前10项的和等于前5项的和，若，则（ ）A. 10B. 9C. 8D. 2【答案】B【解析】【分析】设等差数列公差为,再用基本量法求解即可.【详解】设等差数列公差为,则由题意可知,代入有,解得.又,即,解得.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量计算,同时也考查了等差数列的求和公式.属于基础题.7.函数在区间的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当 时，当时，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，排除D；因为，所以函数非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象
5、的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断，再求出，的取值或范围，即可得到所求大小关系【详解】解：，可得，可得，即为，故选：.【点睛】本题考查对数的换底公式的运用，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题9.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m（）个单位长度，得到函数的图象.若为偶函数，则m的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图像变换求解,再根
6、据偶函数的性质求解的最小值即可.【详解】由题, 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）可得将函数,再将所得到的图象向右平移m（）个单位长度可得.又为偶函数,故当时,有,.即,.又,故当时,为最小值.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图形变换,同时也考查了根据三角函数的性质求解参数的问题.属于中档题.10.函数在上存在导数，若，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中不等式的符号.详解：，则x1时；x1时.故f(x)在上为增函数或常数函数，在上为减
7、函数或常数函数.故，即f(0)+f(2)2f(1).本题选择A选项.点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.11.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点.若|AB|OF|，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求出，进而得出为等边三角形，结合双曲线渐近线斜率即可求出，再利用求解即可.【详解】连接，连接，交轴于点，由题意知，由余弦定
8、理可得，为等边三角形，中，、关于对称，且，可得，故双曲线的离心率，故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，其中涉及到余弦定理，属于中档题，解题时要注意的关系，否则很容易出现错误.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将与有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.12.已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题,即存在零点.再
9、数形结合画出的图像,分析与直线交点的情况进而求得实数a的取值范围即可.【详解】由题,即存在零点.即的图像与直线有交点.画出的图像,则临界条件为：1. 与相交于,此时,解得.2. 与相切于第一象限.此时设切点为,此时.则 ,解得,.故.故选：B【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要根据题意画图分析相交的临界条件,再利用导数的几何意义求解即可.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若曲线在点处的切线与直线垂直，则_【答案】-2【解析】【分析】对曲线方程求导，表示点处的切线得斜率，因为切线与直线垂直，由斜率的乘积等于-1构建方程，解得答案.【详解】对求导得
10、，所以点处的切线得斜率由题可知直线的斜率又因为切线与直线垂直，所以故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题.14.在区间内随机取两个数，则关于的一元二次方程有实数根的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求出点所在的区域的面积，再根据一元二次方程根的判别式，得出之间的关系，利用几何概型的计算公式求解即可.【详解】点所在的区域为边长为的正方形，如下图所示，关于的一元二次方程有实数根的条件是，所以根据一次函数的对称性和正方形的对称性可知：在区域内且满足条件的点所在的面积为，则所求的概率是.故答案为：【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，考查了一元二次方程根的判别式，考查了数学运算能力.1
11、5.在中，内角、所对的边分别是、，若，则的大小为_【答案】【解析】根据正弦定理可得，即故答案为.16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为_.【答案】64.【解析】【分析】设正四棱柱在半球中的高为,画出沿正四棱柱对角面的截面,再根据平面几何关系求出正四棱柱的底面边长和高,进而求得正四棱柱的体积关于的表达式,再利用导数分析最大值即可.【详解】设正四棱柱在半球中的高为,画出沿正四棱柱对角面的截面.则易得正四棱柱的底面边长为,正四棱柱的高为,故正四棱柱的体积为.设
12、,则.因为,故当时.且在上,单调递增；在上,单调递减.故故答案为：64【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的线段长度,再表达出体积的关系式,求导分析函数的单调性与最值即可.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等差数列中，公差，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由和可列出方程组，解出和，即得通项公式；（2）将（1）中所得通项公式代入，列项，用裂项相消
13、法求的前n项和【详解】解：（1）因为，所以 因为，所以 故的通项公式为. （2）因为， 所以.【点睛】本题考查求等差数列通项公式和用裂项相消法求数列前n项和，是典型考题18.在衡阳市“创全国文明城市”（简称“创文”）活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：学校ABCD抽查人数101510075“创文”活动中参与的人数9108049假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的（1）若本市共8000名高中学生，估计C学校参与“创文”活动的人数；（2）在上表中从A，B两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取2人，求恰好
14、A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率；（3）在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评（满分为100分），得到如上的频率分布直方图，其中求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数（计算结果保留两位小数）【答案】（1）3200（2）（3）中位数为【解析】【分析】（1）求得C学校高中生的总人数，再乘以C学校所占的比例，既得答案；（2）分别标记A，B两校没有参与“创城”活动同学，写出任取两人的所有基本事件，选出其中满足的条件的基本事件，由古典概型求概率的公式，求得答案；（3）由频率分布直方图的面积为1构建方程，联系已知求得，由前两组的频率和小于0.5，前三组的频率和大于0.
15、5，所以中位数在第三组，且在第三组中的频率恰占0.18，求出第三组的长度加上70，既得答案.【详解】（1）C学校高中生的总人数为，C学校参与“创文”活动的人数为（2）A校没有参与“创城”活动的这1人记为，B校没有参与“创文”活动的这5人分别记为，任取2人共15种情况，如下：，这15种情况发生的可能性是相等的设事件N为抽取2人中A，B两校各有1人没有参与“创文”活动，有，共5种情况则故恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率为（3）依题意，所以又，所以，因为，所以中位数在第三组，所以中位数为【点睛】本题考查统计的综合型问题，涉及分层抽样求各层人数和在频率分布直方图中求中位数，还考查了古典
16、概型问题，属于中档题.19.如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，平面平面（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由三线合一的性质得出，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由，结合直线与平面垂直的判定定理可得出平面；（2）由（1）知平面，则三棱锥的高为，计算出的面积和，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积.【详解】（1）为等边三角形，且为的中点，.平面平面，平面平面，平面，平面，平面，.又，、平面，平面；（2），且，.又是边长为的等边三角形，且为的中点，则，且，的面积为.因此，三棱锥的体积为.【点睛】
17、本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，解题时要充分利用题中的线面垂直或面面垂直条件寻找三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知函数，是其导函数（）当时，求在处的切线方程；（）若，证明：在区间内至多有1个零点【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）求出函数的导函数，计算出与利用点斜式求出直线方程；（）由，设，则，即，对求导，研究其单调性及零点情况，即可得证.【详解】解：（）当时，则，又，则在处的切线方程为：，即（），又，设，因，故，又，故对恒成立，即在区间单调递增；又，；故当时，此时在区间内恰好有个零点当时，此时在区间内没有零点；综上结论得证【点
18、睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）.设的外心为G，求证为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据长轴及椭圆过点即可求出；（2）由题意设直线为，联立椭圆方程可求，求出外接圆圆心，计算，化简即可证明为定值.【详解】（1）由题意知，将P点坐标代入椭圆方程得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得.设，则，所以的中点坐标为，所以.因为G是的
19、外心，所以G是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，令，得，即，所以，所以，所以为定值，定值为4.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，（）.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于不同的两点，指出的范围，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】
20、(1)消去参数即可得曲线C的直角坐标方程,再利用及代入化简即可.(2)根据直线与圆的位置关系可得,再根据极坐标的几何意义将代入曲线的极坐标方程,化简根据韦达定理以及辅助角公式求解即可.【详解】（1）将曲线C的参数方程,消去参数,得.将及代入上式得.（2）依题意,因为圆心到极点的倾斜角为,过极点圆的切线和极点与圆心连线的直线夹角为，故，将代入曲线的极坐标方程,得.设,则, .所以.因为,所以,则, 所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了极坐标的几何意义,属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知，为正数，且满足.（1）证明：.（2）证明：.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；【解析】分析】(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明【详解】证明：（1）因为，为正数，所以，同理可得，所以， 当且仅当时，等号成立故. （2）要证，只需证 即证，即证，即证. 因为， 所以， 当且仅当，时，等号成立，从而得证.【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口