1、衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考综合检测理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。一选择题（共12小题，每题5分。共60分）1定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A B（） C（，1） D（，1）2已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足（x2）
2、f（x）0，若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（log2a）f（3）f（2a）Cf（3）f（log2a）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）3下列4个不等式：（1）故dx； （2）sinxdxcosxdx；（3）exdxedx； （4）sinxdxxdx能够成立的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个4如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=所围成的阴影部分的面积为（）A1 B C2 D25若abc，则使恒成立的最大的正整数k为（）A2 B3 C4 D56证明命题：“f（x）=ex+在（0，+）上是增函数”，现给出的证法如下：因为
3、f（x）=ex+，所以f（x）=ex，因为x0，所以ex1，01，所以ex0，即f（x）0，所以f（x）在（0，+）上是增函数，使用的证明方法是（）A综合法B分析法C反证法D以上都不是7复数z为纯虚数，若（3i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A3 B3 C D8复数z=的虚部为（）A2 B2 C2i D2i9如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A1+2i B22i C1+2i D12i10设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k=（）A2 B4 C2 D411设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2F1F2
4、，PF1F2=30，则C的离心率为（）A B C D12过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（）Ay2=4x By2=8x Cy2=16x D二填空题（共4小题，每题5分，共20分）13已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是14在三棱锥SABC中，ABBC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角SACB的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是15已知点（2，5）和（8，3）是函数y=
5、k|xa|+b与y=k|xc|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为16已知z=（ai）（1+i）（aR，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=三解答题（共6小题，共70分）17（10分）已知点P（a，1）（aR），过点P作抛物线C：y=x2的切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）（其中x1x2）（）求x1与x2的值（用a表示）；（）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值18（12分）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动（）当E为BC的中点时，
6、试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45？19（12分）已知命题p：实数m满足m27am+12a20（a0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围20（12分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y24y4=0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得F1PF2是
7、直角21（12分）已知函数f（x）=alnx+x（a0）（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x2y=0垂直，求实数a的值；（）讨论函数f（x）的单调性；（）当a（，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）e422（12分）设复数z=a+i（i是虚数单位，aR，a0），且|z|=（）求复数z；（）在复平面内，若复数+（mR）对应的点在第四象限，求实数m取值范围衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考理数参考答案选择题题号123456789101112答案CBDDCADBADAA非选择题13. 14.6 15.18 16.117.（）由y=x2可得，y=2x直线
8、PA与曲线C相切，且过点P（a，1），即x122ax11=0，或，同理可得：，或x1x2，（）由（）可知，x1+x2=2a，x1x2=1，则直线AB的斜率，直线AB的方程为：yy1=（x1+x2）（xx1），又y1=x12，yx12=（x1+x2）xx12x1x2，即2axy+1=0点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即，=，当且仅当，即，时取等号故圆E面积的最小值S=r2=318.（）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC（）建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0）
9、，D（，0，0），设BE=x（0x），则E（x，1，0），设平面PDE的法向量为=（p，q，1），由，得，令p=1，则=（1，x，）而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45，所以sin45=，解得BE=x=或BE=x=（舍）故BE=时，PA与平面PDE所成角为4519.由m27am+12a20（a0），则3am4a即命题p：3am4a由表示焦点在y轴上椭圆可得：2mm10，即命题由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件从而有：20.（1）上半个圆所在圆方程是x2+y24y4=0，则圆心为（0，2），半径为2则下半个圆所在圆的圆心为（0，2），半径为2双曲线的左、右顶点
10、A、B是该圆与x轴的交点，即为（2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=即有交点为（，2）设双曲线的方程为=1（a0，b0），则=1，且a=2，解得，b=2则双曲线的方程为=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（2，0），F2（2，0），若F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2=8，由解得，x2=6，y2=2由解得，y=1，不满足题意，舍去故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（），（），（，），（，）21.（I）由已知可知f（x）的定义域为x|x0（x0）根据题意可得，f（1）=2（1）=2a2a2+1=2a=1或a=（I
11、I）=a0时，由f（x）0可得x2a由f（x）0可得0x2af（x）在（2a，+）上单调递增，在（0，2a）上单调递减当a0时，由f（x）0可得xa由f（x）0可得0xaf（x）在（a，+）上单调递增，在（0，a）上单调递减（III）由（II）可知，当a（，0）时，函数f（x）的最小值f（a）故g（a）=f（a）=aln（a）3a则g（a）=ln（a）4令g（a）=0可得ln（a）4=0a=e4当a变化时，g（a），g（a）的变化情况如下表a=e4是g（a）在（，0）上的唯一的极大值，从而是g（a）的最大值点当a0时，=e4a0时，g（a）e422.（）z=a+i，|z|=，|z|=，即a2=9，解得a=3，又a0，a=3，z=3+i （）z=3+i，则=3+i，+=3+i+=+i，又复数+（mR）对应的点在第四象限， 得 5m1
