1、第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在化简运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,且a1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a0,且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数
2、底数为eln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:alogaN=N;logaaN=N.(a0,且a1)(2)对数的重要公式:换底公式:logbN=logaNlogab(a,b均大于0且不等于1);相关结论:logab=1logba,logablogbclogcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则:如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)=logaM+logaN;logaMN=logaM-logaN;logaMn=nlogaM(nR);logamMn=nmlogaM(m,nR,且m0).3.对数函数的图象与性质a10a1时,y0;当0x1
3、时,y1时,y0;当0x0是(0,+)上的增函数是(0,+)上的减函数4.反函数指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.知识拓展对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)loga(MN)=logaM+logaN.()(2)logaxlogay=loga(x+y).()(3)log2x2=2log2x.()(4)若logamlogan,则m0,
4、且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),1a,-1,其图象经过第一,四象限.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.log525+1612=()A.94 B.6C.214D.9答案Blog525+1612=log552+(42)12=2log55+4=6.故选B.3.下列各式中正确的是()A.loga6loga3=loga2 B.lg 2+lg 5=lg 7C.(ln x)2=2ln xD.lg5x3=35lg x答案D对于A选项,由换底公式得loga6loga3=log36=1+log32,故A错;对于B选项,lg 2+lg 5=lg(25)=1,故B错;对于C选项,(ln
5、 x)2=ln xln x2ln x,故C错;对于D选项,lg5x3=lg x35=35lg x,故D正确.故选D.4.(2020安徽月考)已知a=log23,b=1212,c=1313,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bcaD.cblog22=1,0b=1212120=1,0c=1313c6,所以bc,即cb0,即x2,所以函数f(x)=lg(x-2)的定义域为(2,+),故选D.6.(易错题)已知a0,且a1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=logax的图象可能是()答案B由函数f(x)=ax与函数g(x)=logax互为反函数,得图象关于y=x对称,从而排除A,C
6、,D.易知当a1时,两函数图象与B选项中的图象相同.故选B.易错分析忽视反函数的定义.对数的概念、性质与运算角度一对数的概念与性质典例1(1)若loga2=m,loga5=n(a0,且a1),则a3m+n=()A.11B.13C.30D.40(2)已知2a=5b=10,则a+bab=.(3)设52log5(2x-1)=9,则x=.答案(1)D(2)1(3)2角度二对数的运算典例2计算:(1)(lg 2)2+lg 2lg 50+lg 25;(2)log34273+lg 5+7log72+log23log94+lg 2;(3)(log32+log92)(log43+log83).解析(1)原式=(
7、lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=log3334-1+lg 5+2+lg3lg22lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log32log43+log32log83+log92log43+log92log83=lg2lg3lg32lg2+lg2lg3lg33lg2+lg22lg3lg32lg2+lg22lg3lg33lg2=12+13+14+16=54.规律总结对数运算的求解思路(1)首先利用
8、幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.1.(lg 5)2+lg 2lg 5+lg 20-log23log38+2(1+log25)=.答案9解析原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log23log28log23+22log25=1+1-3+10=9.2.如果45x=3,45y=5,那么2x+y=.答案1解析45x=3,45y=5,x=log453,y=log455,2x+y=2log453+log
9、455=log459+log455=log45(95)=1.对数函数的图象及应用典例3(1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是()(2)当0x12时,4x0,且a1),则a的取值范围是()A.0,22B.22,1C.(1,2)D.(2,2)(3)已知函数f(x)=4+loga(x-1)(a0,且a1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.答案(1)B(2)B(3)(2,4)解析(1)当x1时, f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以选B.(2)易知0a412,解得a22,22a0,且a1)的大致图象是()答案C函数f(x)=|loga(x+1)|的定义域为x|x-
10、1,且对任意的x(-1,+),均有f(x)0,结合对数函数的图象可知选C.2.函数y=x-a与函数y=logax(a0,且a1)在同一坐标系中的图象可能是()答案C当a1时,对数函数y=logax为增函数,当x=1时,函数y=x-a的值为负,故A、D错误;当0abcB.bacC.cbaD.cab(2)已知f(x)满足f(x)-f(-x)=0,且在(0,+)上单调递减,若a=79-14,b=9715,c=log219,则f(a), f(b), f(c)的大小关系为()A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(b)f(a)C.f(c)f(a)f(b)D.f(b)f(c)log2e1,b=ln 2
11、ab,故选D.(2)f(x)-f(-x)=0,f(x)=f(-x),f(x)为偶函数.c=log219log24=2,2971a=79-14=97149715=b0,log29ab.f(x)在(0,+)单调递减,f(log29)f(a)f(b),即f(c)f(a)0,且a1).(1)若a=12,求函数f(x)的值域;(2)当f(x)在14,32上为增函数时,求a的取值范围.解析(1)当a=12时,ax2-x+1=12x2-x+1=12(x-1)2+10恒成立,故函数f(x)的定义域为R,12x2-x+1=12(x-1)2+112,且函数y=log12x在(0,+)上单调递减,log1212x2
12、-x+1log1212=1,即函数f(x)的值域为(-,1.(2)由题意可知,当a1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax2-x+1在14,32上单调递增,且ax2-x+10对任意的x14,32恒成立,所以x=12a14,a142-14+10,解得a2;当0a0对任意的x14,32恒成立,所以x=12a32,a322-32+10,解得29logab(a0,且a1)的不等式,需借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需要分为a1与0ab(a0,且a1)的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式,再求解.1.设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.cba
13、B.bcaC.acbD.abc答案Da=log36=1+log32=1+1log23,b=log510=1+log52=1+1log25,c=log714=1+log72=1+1log27,且log27log25log230,abc.2.(2019山东高考模拟)已知f(x)=ex-1+4x-4,若正实数a满足floga3434B.0a43C.0a1D.a1答案C因为y=ex-1与y=4x-4都是在R上的增函数,所以f(x)=ex-1+4x-4是在R上的增函数,又因为f(1)=e1-1+4-4=1,所以f loga341等价于loga341,所以loga34log aa,当0a1时,y=log
14、ax在(0,+)上单调递减,所以a34,故0a1时,y=log ax在(0,+)上单调递增,所以a34,故a1,综上所述,a的取值范围是0a1.故选C.3.(2020上海高三专题练习)函数y=log0.5(4x2-3x)的定义域为.答案-14,034,1解析由题意可知00,解得-1x0恒成立知函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)+f(x)=ln(1+9x2+3x)+1+ln(1+9x2-3x)+1=ln (1+9x2+3x)(1+9x2-3x)+2=ln 1+2=2,所以f(lg 2)+f lg12=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A组基础达标1.已知函数f(x)=log2(x2-2
15、x+a)的最小值为2,则a=()A.4B.5C.6D.7答案B2.log29log34+2log510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案D原式=2log23(2log32)+log5(1020.25)=4+log525=4+2=6.3.(2020河北冀州中学模拟)函数y=log3(2x-1)+1的定义域是()A.1,2B.1,2)C.23,+D.23,+答案C4.log6log4(log381)的值为()A.-1B.1C.0D.2答案C5.(2019河南郑州模拟)设a=log50.5,b=log20.3,c=log0.32,则()A.bacB.bcaC.cbaD.ablog5
16、0.2=-1,b=log20.3log0.3103=-1,log0.32=lg2lg0.3,log50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.-1lg 0.2lg 0.30,lg2lg0.3lg2lg0.2,即ca,故bca.故选B.6.若lg 2=a,lg 3=b,则log418=()A.a+3ba2B.a+3b2aC.a+2ba2D.a+2b2a答案Dlog418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a,lg 3=b,所以log418=a+2b2a.故选D.7.已知函数f(x)=lg1-x1+x,若f(a)=12,则f(-a)=()A.2B.-2C.1
17、2D.-12答案Df(x)=lg1-x1+x的定义域为x|-1xf(x2)的解集为()A.0,14B.(1,+)C.14,1D.0,14(1,+)答案D由(f(x)2f(x2)得(log12x)2log12x2log12x(log12x-2)0,即log12x2或log12x0,解得原不等式的解集为0,14(1,+).10.若x、y、z均为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,2x3y=2lgklg2lg33lgk=lg9lg81,则2x3y,2x5z=2lgklg2lg55lgk=l
18、g25lg321,则2x5z,故选D.11.(2020福建莆田第六中学模拟)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(n),若f(x)在m2,n上的最大值为2,则nm=.答案9解析f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(n),0m12,不符合题意.故nm=9.C组思维拓展12.(2020四川攀枝花第七中学模拟)设函数f(x)=|logax|(0a1)的定义域为m,n(mn),值域为0,1,若n-m的最小值为13,则实数a的值为.答案23解析作出y=|logax|(0a1)的大致图象如图所示,令|logax|=1,得x=a或x=1a,又1-a
19、-1a-1=1-a-1-aa=(1-a)(a-1)a0,所以1-a1a-1,所以n-m的最小值为1-a=13,即a=23.13.若loga(a2+1)loga(2a)0且a1,故必有a2+12a,又loga(a2+1)loga(2a)0,所以0a1,所以a12.综上,实数a的取值范围为12,1.14.已知2x16且log2x12,求函数f(x)=log2x2log2x2的值域.解析由2x16得x4,log2x2,又log2x12,12log2x2,f(x)=log2x2log2x2=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=log2x-322-14,当log2x
20、=32时, f(x)min=-14.又当log2x=12时, f(x)=34;当log2x=2时, f(x)=0,当log2x=12时, f(x)max=34.故函数f(x)的值域是-14,34.15.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x1,4时,求函数h(x)=f(x)+1g(x)的值域;(2)如果对任意的x1,4,不等式f(x2)f(x)kg(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x1,4,所以log2x0,2,故函数h(x)的值域为0,2.(2)由f(x2)f(x)kg(x)得(3-4log2x)(3-log2x)klog2x.令t=log2x,因为x1,4,所以t=log2x0,2,所以(3-4t)(3-t)kt对任意的t0,2恒成立.当t=0时,kR;当t(0,2时,k(3-4t)(3-t)t恒成立,即k4t+9t-15恒成立.因为4t+9t12,当且仅当4t=9t,即t=32时取等号,所以4t+9t-15min=-3,则k-3.综上,实数k的取值范围是(-,-3).