1、大题规范练(三)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿下主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2sin Bsin C.(1)求角A；(2)若a4，求ABC面积的最大值解：(1)由cos2sin Bsin C，得sin Bsin C，cos(BC)，cos A(0A)，A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得16b2c2bc(2)bc，当且仅当bc时取等号，即bc8(2)SABCbcsin Abc4(1)，即ABC面积的最大值为4(1)2(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，A
2、BCDEF，CDEFCF2AB2AD2，DCF60，ADCD，平面CDEF平面ABCD.(1)求异面直线BE与CF所成角的余弦值；(2)证明：直线CE平面ADF；(3)已知P为棱BC上的点，且二面角PDFA为60，求PE的长解：(1)CDEF，CDEFCF2，四边形CDEF为菱形DCF60，DEF为正三角形取EF的中点G，连接GD，则GDEF，GDCD.平面CDEF平面ABCD，GD平面CDEF，CD平面CDEF平面ABCD，GD平面ABCD，GDAD，GDCD.ADCD，DA，DC，DG两两垂直如图，以D为原点，DA，DC，DG所在直线为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系CDEFCF
3、2，ABAD1，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，1，)，F(0,1，)，(1，2，)，(0，1，)设异面直线BE与CF所成的角为，则cos |cos，|.(2)证明：(1,0,0)，(0,1，)，(0，3，)，0，0，CEDA，CEDF.DA，DF是平面ADF内的两条相交直线，直线CE平面ADF.(3)依题意可设P(a,2a,0)(0a1)，平面PDF的法向量为n(x，y，z)n0，n0，令ya，则x(a2)，za，n(a2)，a，a)二面角PDFA为60，(0，3)是平面ADF的一个法向量，|cosn，|.解得a，P，PE.3(本小题满分12分)私家车的尾气排放
4、是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：年龄/岁15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)频数510151055赞成人数469634(1)若从年龄在15,25)和25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望解：(1)由表知，年龄在1
5、5,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为P.(2)的所有可能取值为0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，的分布列是0123P的数学期望E()0123.4(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O为坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值解：(1)由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由
6、方程组得3x212x182b20.由题意24(b23)0，得b23，则直线l与椭圆E的交点坐标为(2,1)所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2,1)(2)证明：由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，由方程组可得所以P点坐标为，|PT|2m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx4m2120.由16(92m2)0，解得m.则由根与系数的关系得x1x2，x1x2.所以|PA|把y1x1m代入得|PA|，同理|PB|.所以|PA|PB|m2.故存在常数，使得|PT|2|PA|PB|.5(本小题满分12分)已知函数f(x)2a2ln xx2(a0)(1)
7、当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)解：(1)当a1时，f(x)2ln xx2，f(x)2x，f(1)0，又f(1)1，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y10.(2)f(x)2a2ln xx2，f(x)2x，x0，a0，当0xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0.f(x)在(0，a)上是增函数，在(a，)上是减函数(3)由(2)得f(x)maxf(a)a2(2ln a1)讨论函数f(x)的零点情况如下：当a2(2ln a1)0，即0a时，函数f(x)无
8、零点，在(1，e2)上无零点；当a2(2ln a1)0，即a时，函数f(x)在(0，)内有唯一零点a，而1ae2，f(x)在(1，e2)内有一个零点；当a2(2ln a1)0，即a时，由于f(1)10，f(a)a2(2ln a1)0，f(e2)2a2ln e2e44a2e4(2ae2)(2ae2)，当2ae20，即a时，1ae2，f(e2)0，由函数的单调性可知，函数f(x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(a，e2)内有唯一零点x2，f(x)在(1，e2)内有两个零点当2ae20，即a时，f(e2)0，而且f()2a2ea2e0，f(1)10，由函数的单调性可知，无论ae2，还是ae2，f(
9、x)在(1，)内有唯一的一个零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有一个零点综上所述，当0a时，函数f(x)无零点；当a或a时，函数f(x)有一个零点；当a时，函数f(x)有两个零点请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时AOB的面积解：(1)由得
10、C1的普通方程为(x4)2(y5)29，由2sin 得22sin ，将x2y22，ysin 代入上式得C2的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，kC1C21，则直线C1C2的方程为xy10，点O到直线C1C2的距离d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.7(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知|x2|6x|k恒成立(1)求实数k的最大值；(2)若实数k的最大值为n，正数a，b满足n.求7a4b的最小值解：(1)因为|x2|6x|k恒成立，设g(x)|x2|6x|，则g(x)mink.又|x2|6x|(x2)(6x)|8，当且仅当2x6时，g(x)min8，所以k8，即实数k的最大值为8.(2)由(1)知，n8，所以8，即4，又a，b均为正数，所以7a4b(7a4b)(5ab)(2a3b)(54)，当且仅当，即a5b时，等号成立，所以7a4b的最小值是.
