1、基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(2016山东师大附中月考)曲线 yax 在 x0 处的切线方程是 xln 2y10，则 a()A.12B.2 C.ln 2 D.ln12解析 由题知 yaxln a，y|x0ln a，又切点为(0，1)，故切线方程为 xln ay10，a12.答案 A2.若 f(x)2xf(1)x2，则 f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4解析 f(x)2f(1)2x，令 x1，得 f(1)2，f(0)2f(1)4.答案 D3.(2016保定调研)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()A.e B.e C.1eD.1e解析 yln
2、x 的定义域为(0，)，且 y1x，设切点为(x0，ln x0)，则 y|xx01x0，切线方程为 yln x01x0(xx0)，因为切线过点(0，0)，所以ln x01，解得 x0e，故此切线的斜率为1e.答案 C4.(2016湖州高三模拟)曲线 ye2x1 在点(0，2)处的切线与直线 y0 和 yx围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.1解析 y|x0(2e2x)|x02，故曲线 ye2x1 在点(0，2)处的切线方程为 y2x2，易得切线与直线 y0 和 yx 的交点分别为(1，0)，23，23，故围成的三角形的面积为1212313.答案 A5.(2016郑州质检)已知
3、yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)()A.1 B.0 C.2 D.4解析 由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于13，f(3)13，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知 f(3)1，所以 g(3)1313 0.答案 B二、填空题6.(2015天津卷)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数，若 f(1)3，则 a 的值为_.解析 f(x)aln xx1x a(1ln
4、x)，由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.答案 37.已知函数 yf(x)及其导函数 yf(x)的图象如图所示，则曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程是_.解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线 yf(x)在点 P 处的切线的斜率kf(2)1，又过点 P(2，0)，所以切线方程为 xy20.答案 xy208.(2015陕西卷)设曲线 yex 在点(0，1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_.解析 yex，曲线 yex 在点(0，1)处的切线的斜率 k1e01，设 P(m，n)，y1x(x0)的导数为 y1x2(x0)，曲线 y
5、1x(x0)在点 P 处的切线斜率 k2 1m2(m0)，因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1，1).答案(1，1)三、解答题9.求下列函数的导数：(1)yxnlg x；(2)ysin22x3；(3)ylog3(2x1).解(1)ynxn1lg xxn1xln 10 xn1nlg x 1ln 10.(2)ysin22x3 121cos4x23，y12cos4x2312sin4x234x232sin4x23.(3)y1（2x1）ln 3(2x1)2（2x1）ln 3.10.已知曲线 y13x343.(1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点
6、 P(2，4)的切线方程.解(1)P(2，4)在曲线 y13x343上，且 yx2，在点 P(2，4)处的切线的斜率为 y|x24.曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(2)设曲线 y13x343与过点 P(2，4)的切线相切于点 Ax0，13x3043，则切线的斜率为 y|xx0 x20.切线方程为 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 P(2，4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01，或 x0
7、2，故所求的切线方程为 xy20，或 4xy40.能力提升题组(建议用时：40 分钟)11.已知 f1(x)sin xcos x，fn1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则 f2 015(x)等于()A.sin xcos xB.sin xcos xC.sin xcos xD.sin xcos x解析 f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以 4 为
8、周期的函数，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故选 A.答案 A12.已知曲线 y1ex1，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为()A.x4y20 B.x4y20C.4x2y10 D.4x2y10解析 yex（ex1）21ex1ex2，因为 ex0，所以 ex1ex2ex1ex2(当且仅当 ex1ex，即 x0 时取等号)，则 ex1ex24，故 y1ex1ex214当(x0 时取等号).当 x0 时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为0，12，切线的方程为 y1214(x0)，即 x4y20.故选 A.答案 A13.已知函数 f(x)x，g(x)aln x，aR，
9、若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为_.解析 f(x)12 x，g(x)ax(x0)，由已知得 xaln x，12 xax，解得 ae2，xe2.两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为 kf(e2)12e，切线的方程为 ye 12e(xe2)，即 y 12exe2.答案 y 12exe214.设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解(1)方程 7x4y120 可化
10、为 y74x3，当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3.故 f(x)x3x.(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0).令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0，2x0).所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为S126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6.