1、单元质检三 导数及其应用(时间:100 分钟 满分:150 分)单元质检卷第 5 页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.如果一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s,那么物体在 3 s 末的瞬时速度是()A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s 答案:C 解析:根据瞬时速度的意义,可得 3s 末的瞬时速度是 v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线 y=+1-1在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则 a 等于()A.2 B.-2 C.12 D.-12 答案:B 解析:
2、因为 y=+1-1的导数为 y=-2(-1)2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率 k=-12.又因为直线 ax+y+3=0 的斜率为-a,所以-a(-12)=-1,解得 a=-2.3.若函数 y=ex+mx 有极值,则实数 m 的取值范围是()A.m0 B.m1 D.m0,若 y=ex+mx 有极值,则必须使 y的值有正有负,故 m0.4.已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是()A.(-,-33,+)B.-3,3 C.(-,-3)(3,+)D.(-3,3)答案:B 解析:由题意,知 f(x)=-3x2+2ax-10 在 R 上恒成立,故=(
3、2a)2-4(-3)(-1)0,解得-3a3.5.函数 f(x)=x2+x-ln x 的零点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 解析:由 f(x)=2x+1-1=22+-1=0,得 x=12或 x=-1(舍去).当 0 x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)单调递增.则 f(x)的最小值为 f(12)=34+ln20,所以无零点.6.设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案:D 解析:因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f
4、(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则f(x)=x3+x.由 f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x.7.已知当 x12,2时,a1-+ln x 恒成立,则 a 的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A 解析:令 f(x)=1-+lnx,则 f(x)=-12.当 x12,1)时,f(x)0.f(x)在区间12,1)内单调递减,在(1,2上单调递增,在 x12,2上,f(x)min=f(1)=0,a0,即 a 的最大值为 0.8.(2019 江西南昌模拟)已知函数 f(x)=xsin
5、x,x1,x2(-2,2),且 f(x1)0 B.x1+x20 C.12 220 D.12 220,故 f(x)在区间(0,2)内单调递增.又 f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),f(x)为偶函数,当 f(x1)f(x2)时,f(|x1|)f(|x2|),|x1|x2|,12 220.故选 D.9.已知函数 f(x)=ln x+tan(0 2)的导函数为 f(x),若方程 f(x)=f(x)的根 x0小于 1,则 的取值范围为()A.(4,2)B.(0,3)C.(6,4)D.(0,4)答案:A 解析:f(x)=lnx+tan,f(x)=1.令 f(x)=f(x),得 lnx+
6、tan=1,即 tan=1-lnx.设 g(x)=1-lnx,显然 g(x)在区间(0,+)内单调递减,而当 x0 时,g(x)+,故要使满足 f(x)=f(x)的根 x0g(1)=1.又 00,解得 x434,令 f(x)434,故 f(x)在区间(0,434)内递增,在区间(434,+)内递减,故 f(x)的最大值是 f(434),a=434.11.若函数 f(x)=33 2 x2+x+1 在区间(12,3)内有极值点,则实数 a 的取值范围是()A.(2,52)B.2,52)C.(2,103)D.2,103)答案:C 解析:若 f(x)=33 2 x2+x+1 在区间(12,3)内有极值
7、点,则 f(x)=x2-ax+1 在区间(12,3)内有零点,且零点不是 f(x)的图象顶点的横坐标.由 x2-ax+1=0,得 a=x+1.因为 x(12,3),y=x+1的值域是2,103),当 a=2 时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数 a 的取值范围是(2,103),故选 C.12.若存在两个不相等正实数 x,y,使得等式 x+a(y-2ex)(ln y-ln x)=0 成立,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围是()A.(-,0)1e,+)B.(0,1e C.1e,+)D.(-,0)答案:A 解析:由题意知,a=(2e-)ln.设=t(t0,
8、且 t1),则 a=1(2e-)ln,1=(2e-t)lnt.令 f(t)=(2e-t)lnt,f(t)0,则 f(t)=2e-(1+lnt).令2e=1+lnt,得 t=e.由数形结合可知,当 te 时,f(t)0;当 0t0.所以 f(t)e,且f(t)0,所以 01e 或10,解得 a0 或 a1e.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.函数 y=x-x2的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于 .答案:16 解析:由 x-x2=0,得 x=0 或 x=1.因此,所围成的封闭图形的面积为10(x-x2)dx=(22-33)|01=12 13=16.14.(
9、2019 陕西渭南质检)已知函数 f(x)=ax3+bx2的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直.若函数 f(x)在区间m,m+1上单调递增,则 m 的取值范围是 .答案:(-,-30,+)解析:f(x)=ax3+bx2的图象经过点 M(1,4),a+b=4.f(x)=3ax2+2bx,f(1)=3a+2b.由题意可知,f(1)(-19)=-1,即 3a+2b=9.联立解得 a=1,b=3.f(x)=x3+3x2,f(x)=3x2+6x.令 f(x)=3x2+6x0,得 x0 或 x-2.函数 f(x)在区间m,m+1上单调递增,m0 或 m+1-2,
10、即 m0 或 m-3.15.函数 f(x)=e|x-1|,函数 g(x)=ln x-x+a,若 x1,x2使得 f(x1)g(x2)成立,则 a 的取值范围是 .答案:(2,+)解析:由题意,若 x1,x2使得 f(x1)g(x2)成立,可转化为 f(x)min0),当 x(0,1)时,g(x)0,则函数 g(x)单调递增;当 x(1,+)时,g(x)1,解得 a2,即实数 a 的取值范围是(2,+).16.已知函数 f(x)=xln x+12x2,x0是函数 f(x)的极值点,给出以下几个命题:0 x01e;f(x0)+x00.其中正确的命题是 .(填出所有正确命题的序号)答案:解析:由已知
11、得 f(x)=lnx+x+1(x0),不妨令 g(x)=lnx+x+1(x0),由 g(x)=1+1,当 x(0,+)时,有 g(x)0 总成立,所以 g(x)在区间(0,+)内单调递增,且 g(1e)=1e0,又 x0是函数 f(x)的极值点,所以 f(x0)=g(x0)=0,即 g(1e)g(x0),所以 0 x01e,即命题成立,则命题错;因为 lnx0+x0+1=0,所以 f(x0)+x0=x0lnx0+12 02+x0=x0(lnx0+x0+1)-12 02=-12 0212).(2)由 f(x)=(1-)(2-1-2)e-2-1=0,解得 x=1 或 x=52.因为 x 12(12
12、,1)1(1,52)52(52,+)f(x)-0+0-f(x)12-12 0 12-52 又 f(x)=12(2-1-1)2e-x0,所以 f(x)在区间12,+)内的取值范围是0,12 e-12.18.(12 分)设函数 f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若 a=0,求 f(x)的单调区间;(2)若当 x0 时,f(x)0,求 a 的取值范围.解:(1)当 a=0 时,f(x)=ex-1-x,f(x)=ex-1.当 x(-,0)时,f(x)0.故 f(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间(0,+)内单调递增.(2)f(x)=ex-1-2ax.由(1)知 f(x)f(0),即 ex1+x
13、,当且仅当 x=0 时等号成立,故 f(x)x-2ax=(1-2a)x.当 a12时,1-2a0,f(x)0(x0),f(x)在区间0,+)内是增函数,因为 f(0)=0,于是当 x0时,f(x)0.符合题意.当 a12时,由 ex1+x(x0)可得 e-x1-x(x0).所以 f(x)ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当 x(0,ln2a)时,f(x)0,而 f(0)=0,于是当 x(0,ln2a)时,f(x)0.(1)求函数 f(x)的最小值;(2)当 x2a 时,证明:()-(2)-232a.(1)解函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=x-2=(
14、+)(-).当 x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当 x=a 时,f(x)取得极小值,也是最小值,且 f(a)=12a2-a2lna.(2)证明由(1)知,f(x)在区间(2a,+)内单调递增,则所证不等式等价于 f(x)-f(2a)-32a(x-2a)0.设 g(x)=f(x)-f(2a)-32a(x-2a),则当 x2a 时,g(x)=f(x)-32a=x-2 32a=(2+)(-2)20,所以 g(x)在区间(2a,+)内单调递增.所以当 x2a 时,g(x)g(2a)=0,即 f(x)-f(2a)-32a(x-2a)0,故()-(2)-232a.20.(12 分)(20
15、19 云南曲靖沾益四中高三三模)已知函数 f(x)=ln x-ax2-2x,aR.(1)当 a0 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)若函数 h(x)=f(x)+3ax2+3x 的极值大于零,求实数 a 的取值范围.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+),且 f(x)=1-2ax-2=-22-2+1,当 a=0 时,令 f(x)=-2+1=0,得 x=12.所以当 x(0,12)时,f(x)0,f(x)单调递增;当 x(12,+)时,f(x)0 时,令 f(x)=0,则-2ax2-2x+1=0.因为=(-2)2-4(-2a)=4+8a0,x0,所以 x=-1+1+22.故函数 f(x)
16、在区间 0,-1+1+22内单调递增,在区间(-1+1+22,+)内单调递减.综上,当 a=0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,12),单调递减区间为(12,+);当 a0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,-1+1+22),单调递减区间为(-1+1+22,+).(2)由题意可知,函数 h(x)=lnx+2ax2+x,所以 h(x)=1+4ax+1=42+1(x0).当 a0 时,h(x)0,可知函数 h(x)在区间(0,+)内单调递增,无极值,不符合题意;当 a0,且两根之积为 x1x2=140,不妨设 x10,x2=-1-1-168,则由 h(x)=0 可得 x=x2,故 h
17、(x)在区间(0,x2)内单调递增,在区间(x2,+)内单调递减,所以 x=x2为极值点.由题意可知,h(x2)=lnx2+2a22+x20.又 4a22+x2+1=0,所以 lnx2+2-12 0.构造函数 g(x)=lnx+-12,则 g(x)=1+120,所以函数 g(x)在区间(0,+)内单调递增.又 g(1)=0,所以由 g(x)0,解得 x1,即 x2=-1-1-1681,解得-12akx 对任意的 x(0,+)恒成立,求实数 k 的取值范围.(1)解f(x)=ex-x2+a,f(x)=ex-2x.由已知,得(0)=1+=0,(0)=1=,解得=-1,=1.函数 f(x)的解析式为
18、 f(x)=ex-x2-1.(2)证明令(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则(x)=ex-1.由(x)=0,得 x=0.当 x(-,0)时,(x)0,(x)单调递增.故(x)min=(0)=0,从而 f(x)-x2+x.(3)解 f(x)kx 对任意的 x(0,+)恒成立()k 对任意的 x(0,+)恒成立.令 g(x)=(),x0,则 g(x)=()-()2=(e-2)-(e-2-1)2=(-1)(e-1)2.由(2)可知当 x(0,+)时,ex-x-10 恒成立,由 g(x)0,得 x1;由 g(x)0,得 0 x1.故 g(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1),即 g
19、(x)min=g(1)=e-2.故 k0,bR)有极值,且导函数 f(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若 f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求 a 的取值范围.(1)解由 f(x)=x3+ax2+bx+1,得 f(x)=3x2+2ax+b=3(+3)2+b-23.当 x=-3 时,f(x)有极小值 b-23.因为 f(x)的极值点是 f(x)的零点,所以 f(-3)=-327+39 3+1=0,又 a0,故 b=229+3.因为 f(x)有极值,故 f
20、(x)=0 有实根,从而 b-23=19(27-a3)0,即 a3.当 a=3 时,f(x)0(x-1),故 f(x)在 R 上是增函数,f(x)没有极值;当 a3 时,f(x)=0 有两个相异的实根 x1=-2-33,x2=-+2-33.列表如下:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值 极小值 故 f(x)的极值点是 x1,x2.从而 a3.因此 b=229+3,定义域为(3,+).(2)证明由(1)知,=29+3.设 g(t)=29+3,则 g(t)=29 32=22-2792.当 t(362,+)时,g(t)0,从而 g(t)在区间(362,+)
21、内单调递增.因为 a3,所以 a33,故 g(a)g(33)=3,即 3.因此 b23a.(3)解由(1)知,f(x)的极值点是 x1,x2,且 x1+x2=-23a,12+22=42-69.从而 f(x1)+f(x2)=13+a12+bx1+1+23+a22+bx2+1=13(312+2ax1+b)+23(322+2ax2+b)+13a(12+22)+23b(x1+x2)+2=43-62749+2=0.记 f(x),f(x)所有极值之和为 h(a),因为 f(x)的极值为 b-23=-19a2+3,所以 h(a)=-19a2+3,a3.因为 h(a)=-29a-320,于是 h(a)在(3,+)上单调递减.因为 h(6)=-72,于是 h(a)h(6),故 a6.因此 a 的取值范围为(3,6.