1、第 1 章动量及其守恒定律习题课:动量和能量的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,木块 A、B 的质量均为 2 kg,置于光滑水平面上,B 与一轻质弹簧的一端相连,弹簧的另一端固定在竖直挡板上,当 A 以 4 m/s 的速度向 B 撞击时,由于有橡皮泥而粘在一起运动,那么弹簧被压缩到最短时,弹簧具有的弹性势能大小为()A.4 JB.8 JC.16 JD.32 J解析 A、B 在碰撞过程中动量守恒,碰后粘在一起共同压缩弹簧的过程中机械能守恒。由碰撞过程中动量守恒得 mAvA=(mA+mB)v,代入数据解得 v=+=2m/s,所以碰后 A、B 及弹簧组成的系统的机械能为12(mA+m
2、B)v2=8J,当弹簧被压缩至最短时,系统的动能为 0,只有弹性势能,由机械能守恒得此时弹簧的弹性势能为 8J。答案 B2.如图所示,位于光滑水平桌面上的小滑块 P 和 Q 均可视为质点,质量均为 m,Q 与轻质弹簧相连并处于静止状态,P 以初速度 v 向 Q 运动并与弹簧发生作用。求整个过程中弹簧的最大弹性势能。解析 P 和 Q 速度相等时,弹簧的弹性势能最大,由动量守恒定律得 mv=2mv 共,由能量守恒定律得12mv2=Epmax+12(2m)共2,解得 Epmax=14mv2。答案14mv23.如图所示,带有半径为 R 的14光滑圆弧的小车的质量为 m0,置于光滑水平面上,一质量为 m
3、 的小球从圆弧的最顶端由静止释放,求小球离开小车时,小球和小车的速度。解析球和车组成的系统虽然总动量不守恒,但在水平方向动量守恒,且全过程满足机械能守恒,设球车分离时,球的速度为 v1,方向水平向左,车的速度为 v2,方向水平向右,则mv1-m0v2=0,mgR=12 12+12m022,解得 v1=200+,v2=220(0+)。答案200+,方向水平向左 220(0+),方向水平向右4.如图所示,光滑水平面上有 A、B 两辆小车,质量分别为 mA=20 kg,mB=25 kg。A 车以初速度 v0=3 m/s 向右运动,B 车静止,且 B 车右端放着物块 C,C 的质量为 mC=15 kg
4、。A、B 相撞且在极短时间内连接在一起,不再分开。已知 C 与 B 上表面间动摩擦因数为=0.2,B 车足够长,求 C 沿 B 上表面滑行的长度。解析 A、B 相撞:mAv0=(mA+mB)v1,解得 v1=43m/s。由于在极短时间内摩擦力对 C 的冲量可以忽略,故 A、B 刚连接为一体时,C 的速度为零。此后,C 沿 B 上表面滑行,直至相对于 B 静止为止。这一过程中,系统动量守恒,系统的动能损失等于滑动摩擦力与 C 在 B 上的滑行距离之积;(mA+mB)v1=(mA+mB+mC)v12(mA+mB)12 12(mA+mB+mC)v2=mCgL解得 L=13m。答案13 m5.两质量分
5、别为 m1 和 m2 的劈 A 和 B,高度相同,放在光滑水平面上,A 和 B 的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示,一质量为 m 的物块位于劈 A 的倾斜面上,距水平面的高度为 h,物块从静止滑下,然后又滑上劈 B,求物块在 B 上能够达到的最大高度。解析设物块到达劈 A 的底端时,物块和 A 的速度大小分别为 v 和 v1,由机械能守恒定律和动量守恒定律得mgh=12mv2+12m112m1v1=mv设物块在劈 B 上达到的最大高度为 h,此时物块和 B 的共同速度大小为 v2,由动量守恒定律和机械能守恒定律得mv=(m2+m)v2mgh+12(m2+m)22=12mv2解
6、得 h=12(1+)(2+)h。答案12(1+)(2+)h6.如图所示,一长木板静止在光滑的水平面上,长木板的质量为 2m,长为 L,在水平地面的右侧有一竖直墙壁。一质量为 m、可视为质点的滑块从长木板的左端以速度 v0 滑上长木板,在长木板与墙壁相撞前滑块与长木板已达到共同速度,长木板与墙壁碰撞后立即静止,滑块继续在长木板上滑行,滑块到达长木板最右端时,速度恰好为零,求:(1)滑块与长木板间的动摩擦因数;(2)滑块与长木板间因摩擦而产生的热量。解析(1)从滑块滑上长木板到两者有共同速度的过程中,设滑块在长木板上滑行的距离为 L1,两者共同速度为 v,则mv0=(m+2m)vmgL1=12 0
7、2 12(m+2m)v2碰撞后,长木板立即静止,滑块向前滑动的过程中,有 mg(L-L1)=12mv2解得=70218。(2)滑块与长木板间因摩擦而产生的热量为Q=mgL=718 02。答案(1)70218(2)718 02关键能力提升练7.如图所示,质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上,底部与水平面平滑连接,一个质量也为m 的小球从槽高 h 处开始自由下滑,则()A.小球和槽组成的系统总动量守恒B.球下滑过程中槽对小球的支持力不做功C.重力对小球做功的瞬时功率一直增大D.地球、小球和槽组成的系统机械能守恒解析小球在下滑过程中,小球与槽组成的系统所受合外力不为零,系统动量不守恒,A 错误;下
8、滑过程中,球的位移方向与槽对球的支持力方向夹角为钝角,作用力做负功,B 错误;刚开始时小球速度为零,重力的功率为零,当小球到达底端时,速度水平与重力方向垂直,重力的功率为零,所以重力的功率先增大后减小,C 错误;过程中地球、小球和槽组成的系统机械能守恒。答案 D8.如图所示,光滑水平直轨道上有三个质量均为 m 的物块 A、B、C。B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设 A 以速度 v0 朝 B 运动,压缩弹簧,当 A、B 速度相等时,B 与 C 恰好相碰并粘在一起,然后继续运动。假设 B 和 C 碰撞过程时间极短。求从 A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中:(1)整个系统损失的
9、机械能;(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。解析(1)从 A 压缩弹簧到 A 与 B 具有相同速度 v1 时,对 A、B 与弹簧组成的系统动量守恒,有mv0=2mv1此时 B 与 C 发生完全非弹性碰撞,设碰撞后的瞬时速度为 v2,损失的机械能为 E,对 B、C组成的系统,由动量守恒和能量守恒得 mv1=2mv212 12=E+12(2m)22联立式,得 E=116 02(2)由式可知,v2v1,A 将继续压缩弹簧,直至 A、B、C 三者速度相同,设此速度为 v3,此时弹簧被压缩到最短,其弹性势能为 Ep,由动量守恒和能量守恒得mv0=3mv312 02-E=12(3m)32+Ep联立式得 E
10、p=1348 02。答案(1)116 02(2)1348 029.如图所示,一条轨道固定在竖直平面内,粗糙的 ab 段水平,bcde 段光滑,cde 段是以 O 为圆心,R为半径的一小段圆弧,可视为质点的物块 A 和 B 紧靠在一起,静止于 b 处,A 的质量是 B 的 3 倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离,分别向左、右始终沿轨道运动。B 到 d 点时速度沿水平方向,此时轨道对 B 的支持力大小等于 B 所受重力的34。A 与 ab 段的动摩擦因数为,重力加速度为 g,求:(1)物块 B 在 d 点的速度大小 v;(2)物块 A 滑行的距离 s。解析(1)物块 B 在 d 点,由受力分析
11、得 mg-34mg=m2,解得 v=2。(2)物块 B 从 b 到 d 过程中,由机械能守恒得12 2=mgR+12mv2A、B 物块分离过程中,动量守恒,即有 3mvA=mvBA 物块减速运动到停止,由动能定理得-3mgs=0-123m2联立以上各式解得 s=8。答案(1)2 (2)810.如图所示,质量 m1=0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上,车长 L=1.5 m,现有质量 m2=0.2 kg可视为质点的物块,以水平向右的速度 v0=2 m/s 从左端滑上小车,最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数=0.5,g 取 10 m/s2,求:(1)物块在车面上滑行的
12、时间 t;(2)要使物块不从小车右端滑出,物块滑上小车左端的速度 v0不超过多少。解析(1)设物块与小车的共同速度为 v,以水平向右为正方向,根据动量守恒定律有m2v0=(m1+m2)v设物块与车面间的滑动摩擦力大小为 F,对物块应用牛顿运动定律有 F=m20-,又 F=m2g,解得 t=10(1+2),代入数据得 t=0.24s。(2)要使物块恰好不从车面滑出,须使物块到达车面最右端时与小车有共同的速度,设其为 v,则 m2v0=(m1+m2)v,由功能关系有12m2v02=12(m1+m2)v2+m2gL代入数据解得 v0=5m/s,故要使物块不从车右端滑出,物块滑上小车左端的速度 v0不
13、超过5m/s。答案(1)0.24 s(2)5 m/s11.如图所示,质量为 M 的木块静置于光滑的水平面上,一质量为 m、速度为 v0 的子弹水平射入木块且未穿出。设木块对子弹的阻力恒为 F,问:(1)射入过程中产生的内能为多少,木块至少为多长时子弹才不会穿出?(2)子弹在木块中运动了多长时间?解析(1)以 m 和 M 组成的系统为研究对象,据动量守恒定律可得 mv0=(m+M)v,得 v=0+动能的损失 E=12 02 12(M+m)v2即 E=022(+),损失的机械能转化为内能。设子弹相对于木块的位移为 L,对 M、m 系统由能量守恒定律得:FL=12 02 12(M+m)v2L=022
14、(+)(2)以子弹为研究对象,由动量定理得:-Ft=mv-mv0把 v=0+代入上式得:t=0(+)答案(1)022(+)022(+)(2)0(+)12.两块质量都是 m 的木块 A 和 B 在光滑水平面上均以速度02 向左匀速运动,中间用一根劲度系数为 k 的轻弹簧连接着,如图所示。现从水平方向迎面射来一颗子弹,质量为4,速度为 v0,子弹射入木块 A 并留在其中,求:(1)在子弹击中木块后的瞬间木块 A、B 的速度 vA 和 vB 的大小;(2)在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的最大弹性势能。解析(1)在子弹打入木块 A 的瞬间,由于相互作用时间极短,弹簧来不及发生形变,A、B 都不受弹力
15、的作用,故 vB=02;由于此时 A 不受弹力,木块 A 和子弹构成的系统在这极短过程中不受外力作用,选向左为正方向,系统动量守恒:02 04=(4+)vA解得 vA=05。(2)由于木块 A、木块 B 运动方向相同且 vAvB,故弹簧开始被压缩,使得木块 A 加速、木块B 减速运动,弹簧不断被压缩,弹性势能增大,直到二者速度相等时弹簧弹性势能最大,在弹簧压缩过程木块 A(包括子弹)、B 与弹簧构成的系统动量守恒,机械能守恒。设弹簧压缩量最大时共同速度为 v,弹簧的最大弹性势能为 Epm,由动量守恒定律得(m+14m)vA+mvB=(m+14m+m)v由机械能守恒定律得12(m+14m)2+1
16、2 2=12(m+14m+m)v2+Epm联立解得 v=13v0,Epm=140 02。答案(1)05 02 (2)140 0213.如图所示,长木板 B 静止在光滑的水平面上,物块 C 放在长木板的右端,B 的质量为 4 kg,C 和木板间的动摩擦因数为 0.2,C 可以看成质点,长木板足够长。物块 A 在长木板的左侧以速度 v0=8 m/s 向右运动并与长木板相碰,碰后 A 的速度为 2 m/s,方向不变,A 的质量为 2 kg,g 取 10 m/s2,求:(1)碰后瞬间 B 的速度大小;(2)试分析要使 A 与 B 不会发生第二次碰撞,C 的质量不能超过多大。解析(1)A 与 B 相碰的
17、瞬间,A、B 组成的系统动量守恒 mAv0=mAvA+mBvB,求得 vB=3m/s。(2)碰撞后 C 在 B 上相对 B 滑动,B 做减速运动,设 C 与 B 相对静止时,B 与 C 以共同速度v=2m/s 运动时,A 与 B 刚好不会发生第二次碰撞,这个运动过程 C 与 B 组成的系统动量守恒,则mBvB=(mB+mC)v,求得 mC=2kg,因此要使 A 与 B 不会发生第二次碰撞,C 的质量不超过 2kg。答案(1)3 m/s(2)不超过 2 kg14.如图所示,在水平光滑直导轨上,静止着三个质量为 m=1 kg 的相同的小球 A、B、C。现让 A球以 v0=2 m/s 的速度向 B 球运动,A、B 两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与 C 球碰撞,C 球的最终速度 vC=1 m/s。问:(1)A、B 两球与 C 球相碰前的共同速度为多大?(2)两次碰撞过程中一共损失了多少动能?解析(1)A、B 两球相碰,满足动量守恒定律,则有 mv0=2mv1,代入数据求得 A、B 两球跟 C 球相碰前的速度 v1=1m/s。(2)A、B 两球与 C 球碰撞同样满足动量守恒定律,则有 2mv1=mvC+2mv2,相碰后 A、B 两球的速度 v2=0.5m/s,两次碰撞损失的动能 Ek=12 02 12(2m)22 12 2=1.25J。答案(1)1 m/s(2)1.25 J