1、广东省2023-2024高三上学期第一次调研考试数学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。注意事项：l.答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角”条形码粘贴处“。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答
2、题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=I尤工11,B=元，芒叫，则凡B=A.杠I I 工 21B.I 无 I 1 212.在复数范围内方程x2+2=0的解为A.尤=.fiB.父且C炉二士Iiil 3.已知b.ABC的重心为0,则向盘BO=D.t亿l 丘 2iD.无eOA.宁万l+冗B.-五K十ACC.令五;-ACD.tAB 冗4.已知一个直角三角形的两条宜角边的长分别为1和2,以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周围成一旋转体，则此旋转体外接球的表面积为A.20-rr
3、B.12-rrC.51rD.3-rr5.已知函数f(x+1)的图象关于点(1,1)对称，则下列函数是奇函数的是A.y=f(x)+1B.y=Ji（元2)+1 C.r=f（父）一ID.y=/i（无2)-11 6.O a b是“a 一 b-1;b-t的A.充分不必要条件C.充要条件及必要不充分条件o既不充分也不必要条件数学第1页（共4页）7.已知于a-J于，sin a+2cos p=1,cos a-2sin fJ=./i，则sin/J宁A.38.屈3C.月6 D.屈68.已知Aii1.冗，IABl=t,I冗l=上若点P是t:.ABC所在平面内一点-t，且AP=商2 冗闱I.I加，则两冗的最大值为A.
4、13 B,s-z.fi C.5-2屈D.10+2/i 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.甲、乙两班参加某次数学调研测试，相关统计数据如下表所示（满分150分，120分以上为优秀），则下列结论正确的是A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同B.甲班成绩波动比乙班成绩波动大C.甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数10.若实数a,b淌足2+3a=3+2b,则下列关系式中可能成立的是A.0 a b 1 B.b a 0 C.l a 0,wO,旧号）的部分图象如图所示，若年气
5、己（号，千）且J伍）伍），则J（元，2)16英国著名物理学家牛顿用”作切线”的方法求函数笭点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛若数工工一21一一一一一一一一一列动满足x.1=x.-旦/(x.)（九eN.），则称数列 丸为牛顿数列如果函数尤1f(x)=,?一工 一2，数列尤彝为牛频数列，设a.=In(n.eN.)且a,=1，数列允一2a.的前n项和为S.，则S,o=_;x3=_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(IO分）已知数列a.为等差数列，且=7,a5 a,=26,数列a.的前几项和为S,(1)求生和S.；(2)令从一(n.eN.)，求数
6、列丸孙勺前n项和T.a!-1 18.(12分）如图，在正三棱柱ABC-A1 B1 C1 中，点E为侧棱BB,的中点(I)证明：平面屁c,.l平面AC,;(2)若AA,=AB,求平面AEC,与平面 ABC的夹角的A,大小AC.B数学笫3页（共4页）J 9.(12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan C=cos A+cos/J(1)求角C的大小；(2)若ABC是锐角三角形，且其面积为打，求边c的取值范围20.J2分）某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则：游戏在两人中进行，参与者每次从装有 3 张空白券和 2 张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张，规定摸到最后一张奖券或
7、能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束，能够获得最后一张奖券的参与者获胜(I)从胜负概率的角度，判断游戏规则的设登是否公平；(2)设游戏结束时参与双方换券的次数为x.求随机变贵 X的分布列21.(12分）已知aeR,函数JG)生拦a.t，尤e 0,加e(1)记J(,e)的导函数为g(,e)，求g(x)布 to.五上的单调区间；(2)若J（父）在（0,加）上的极大值、极小值恰好各有一个，求a的取值范围22.(12分）尤过椭圆一立4 3 为Al,N.=I的右焦点F作两条相互垂直的弦AB,CD.AB,CD的中点分别(I)证明：宜线MN过定点；(2)若AB,CD的斜率均存在，求AFMN面积的鼓大值数
8、学笫4页（共4页）高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号2 3 4 5 6 7 8 答案“c B c DA A B二、选择题：本题共4小题每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部 选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分题号9 10 11 12 答案ABC ABD BC ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分2e4+1 勹（前空2分，后空3分）e.-1 13.一314.一 115./316.1023四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：
9、（l）设等差数列a”的公差为d,因为a3=1,as+a1=26,a1+2d=7.所以2a1+10d=26,解得a1=3.d=2.I分.3分所以a,.=3+2(n-l)=2n+l,S11=3n 吐号丛 x2=n 2+2n.(2)由（I)知a彝2n+I,.5分所以b,.1 1 1 1 111 1=(-a:-l(2n+1)2 一14 n(n+1)4 n n+1)，.8分所以TI,.I I I I I I I 寸1 丁丁丁丁丁丁二）4（Iin+1)即数列从的前n项和T,.=4(n+l).10分18.(I)证明：如图，分别取AC,A1 C1 的中点为0,F,连接()F与AC1 交于点G,连接EG,BO,
10、则点6为OF,AC1 的中点.I分又点E为B81的中点 则BE/OG且BE=OG.A I，1，FC L B 所以四边形BEGO是平行四边形，EGIIOB.3分在正三棱柱ABC-.41 B,C 1 中 平面AC 1.l平面.4BC,平面4C 1 n平面ABC=AC,BO.lAC,所以BO.l平面AC 1 所以EG.l平面AC 1.5分又EGC平面AEC,所以平面.4EC 1.l平面4C 1.6分(2)解：（方法一）设AB=2.则从2,BE=B 1 E=l，所以AE=EC,=fs.4C 1=2丘AAEC 1为等腰三角形，易求得边4C 1 上的高为打，所以!:iAE（占的面积为S1 碑,_.1=+X
11、 2 Ii X./3=./6.9./:2 9分/:i.4BC的面积为S.,s l:;.-tBC=t.f-X 2 2=/3.l 0分4 设平面AEC1 与平面.4BC的夹角为0,s AAB(.则由射影面积公式可得cos 8=-=.5st:;.肛，./6-2.又(JE 0,于l,所以(J=于，即平面AEC 1 与平面ABC的夹角为工12分4【方法二）如图 建立空间直角坐标系0-xyz,设AB=2,，t I，1，R 则A(O.一 1,0),C,(O,I.2),E（./f,O.I)，所以石了 他(0,2,2),AE=(./3,I,I).z)，则由n 1 芷 2y+2z=0,设平面AEC,的一个法向最为
12、ff 1=（江），可取n 1 AE=/3.+y+z=0,n,=(0.1,一 I);又平面ABC的一个法向屈可取为n2=(0.0,1).9分.10分设平面AEC I 与平面ABC的夹角为0，则cos8=I n,n2 I I n,I I n2 I1./f 512.又8eo.f，所以0于即平面AEC 1 与平面ABC的夹角为工4 12分19.解：（I)因为tan C=sin A+sin B cos A+cos s sin C sin A+sin B 则一一cos C cos A+cos B.I分所以sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B.即sin Cc
13、os A-cos Csin A=(os Csin B-sin Ccos B,得sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C或C-A下一(B-C)（不成立，舍去），.3分.5分从而2C=A+B，又A+B+C=1r，所以C=工3.6分OA卫(2)由(I)知A+B气，又AABC是锐角三角形则（2.2下下0 3-A 2.得工A工6 2.7分I 2 2 因为S 一absin C=7 c sin Asin B c.,A体C22=sin Asin B=sin C./3 打所以c2=3 sin Asin B.8分2ff 设J=sin Asin B，因为B=-A,3 所以y=sin Asin（年A)=
14、sin A（卒osA+-sin A)=f sin 2A+-m 2A=长（n 干）l 0分因为fA于，则f2A千子，所以）E（,-3一4从而c2=4,6)，即ce2，品），所以边e的取值范围是2,品）12分20.解：（方法一）（I)将3张空白券简记为“白，将2张奖券简记为”奖”，率先摸券的一 方获胜，1分包括以下几种情况：Q)双方共摸券3次，出现”奖白奖”“白奖奖”“白白白”这三种情形，对应的概率为P=23 I 3 2 I 3 2 I 3 一 X 一 X-一 X 一 X-一 X 一 X-一1 5 4 3 5 4 3 5 4 3 10.3分双方共摸券4次，出现 的恰好是“三白一 奖且前三次必定出现
15、一次奖券”,对应的概率为P=23 2 I 3 2 2 I 3 2 2 I 3 一 X 一 X 一 X 一 一 X 一 X一 X-一 X 一 X 一 X 一 一5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 10.5分故先摸券的一方获胜的概率P九P2 一，3 5 3 I因为 一 一，所以这场游戏规则的设置不公平5 2.6分.7分所以P(X=2)(2)由题意可知X的可能取值为2,3,4,2 I I 一 X 一 5 4 lO.8分P(X=3)P(X=4)2 3 13 2 1 3 2 1 3=x 一 X 一 一 x x 一 x 一 X =5 4 3 5 4 3 5 4 3 10.=l-P(X=2)-P
16、(X=3)3一5 .11分所以X的分布列为：X 2 3 4 p I 3 3 10 10 5.12分方法二将3张空白券简记为“白,将2张奖券简记为”奖气则5张券的换出顺序有10种：“自白白奖奖”“自自奖白奖”“白白奖奖白”“白奖白白奖”“白奖自奖白”“白奖奖白白”奖白白白奖”奖白白奖白”奖自奖白白”奖奖白白白”.2分.4 依题意，游戏结束时参与双方换券的次数与胜方依次为：“3次、先摸方胜”次、先换方胜”“4次、后换方胜”“4次、先换方胜”“4次、后换方胜”“3次、先模方胜”“4次、先换方胜”“4次、后模打胜”“3次、先换方胜”“2次 后换方胜”.4分(l)设事件 A:先摸券的一方获胜，则 n(A
17、)=6,所以 P(A)n(A)6 3 一 n(J)l05.6分3 1 因为一 一，所以游戏规则的设置不公平5 2(2)由题意可知X的可能取值为2,3,4,.7分.8分P(X=4)6 3 10-5.P(X=3)IO且P(X=2)10 11分所以X的分布列为为X 2 3 4 p I 3 3 10 10 5 12分21.解：（l)由f(x)Sln.t COS X-Sln.t=心得f(x)=+a.习工C C 即g(X)=cos.t-sm x“十(l.e.I分则g(x)=-2cos x e皇 4-2cos.rF=O,寻上3 x 或卫2x,1.3分由g(x)0,解得0 x 于或早;t0，解得一 x g（号
18、）g(27r)g行）-2霄=a+e，.8分若g侵尸，则f(X)刻，故f(x)在(0,21T)内单调递增，从而f(x)在(0,21T)内无极值，不合题设，所以g行）O;若g(21r)0,题设；.9分当g(早)o 时，f(x)在(0,21r)内至多有一个极值点，不合当g内）0时，如）在（0,2,r)内有二个极值点，不合题设所以g(2 1r)o.10分叫叶）a e于0,解得e一2飞ag（号）g(2 11)o g（于），11分则存在唯一飞 IE(0,卫），使得f伈）0,当XE(0,X 1)时，f 1(X)0,/(X)粕2 调递增；当te(x l，工2）时，f(X)0,/(X)单调递减，则/(X)在X=
19、X 1 取得极大值；存在唯一:t2 e（于，2,r），使得 f,(.t2)=0,当xe（于叶时，j(.-r)0,/(X)单调递增，则f(x)在x=x2 取得极小值综上，所求a的取值范围是一e一2.,e一千）.12分22.(1)证明：由题可知F(1.0).若直线AB,CD有一条斜率不存在，则另一条斜率为0,其中点分别为直线与x轴的交点、原点，过此两点的直线MN方程为y=0.1分若直线AB,CD的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为 一，1 k 由题，可设直线AB的方程为y=k(x-1)，直线CD的方程为y=（无 一 I).k.2分联立;=k(.，消元y，整理得(3+4k主 8k 2
20、x+（4K2 一12)=0,4 3 设A.t,.Y1).B(x2,Y2)则X 1+x2 且知J1+y2 =k(.t1+x2)一2k 亡给.3分从而 亡如y尸亡如，即叫亡妇亡击）；.4分同理N(4*4.*4).5分-3k3k yM-).3+4K2-3k.2+4-7k所以KM,一一一一一x,.,一X,-4k 24-4k 2-4.-3+4k 23k2+4 则直线.IIIN 的方程为）一 二丑卢 二立气 X-4止）3+4k1-4k2-4 3+4k2 J.6分Q整（：尸；园（分），即直线叭过定点Q（寺，o),直线y=O 也满足过定点综上直线 MN过定点Q（牛，0).7分(2)解：由(l)可得S AFw,=-I FQ I I Jv 一）I=.!.x立 xi兰 I9|k|1+炉|2 7 I 3+4k2-3k2+4 2(12k+25k2+12)=9|K|1+k2|2.l2 12(k2+I)2+k2 -2 12(k2+I).I k I(*).9分lk I k+l 令I=k2+I 则t=k2+l 21 k I 可下气可 2.当且仅当k2=1.即k=土1时取等号l 从而J=12t 一在te2.+oo)上单调递增，当I=2,即k=士 1时取得最小值）血n=壁2 11分所以(*)9 I 9 一 2 49 49 即当k=1时，st:,l.ll取得最大值为一 49 12分2