1、素养提升1高考中函数与导数解答题的提分策略12019全国卷,20,12分理已知函数f (x)=2x3 - ax2+b.(1)讨论f (x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f (x)在区间0,1上的最小值为 - 1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.本题可拆解成以下几个小问题:(1)求函数f (x)=2x3 - ax2+b的导数;利用分类讨论思想判断函数的单调性.(2)对a分类讨论,求函数f (x)的单调区间;分别求函数f (x)的最值,列出关于a,b的方程组;解方程组,判断a,b是否符合相应区间.(1)对f (x)=2x3 - ax2+b求导,得f (x)=6x2
2、 - 2ax=2x(3x - a).令f (x)=0,得x=0或x=a3.若a0,则当x( - ,0)(a3,+)时,f (x)0;当x(0,a3)时,f (x)0.故f (x)在( - ,0)和(a3,+)上单调递增,在(0,a3)上单调递减.若a=0,f (x)在( - ,+)上单调递增.若a0;当x(a3,0)时,f (x)0.故f (x)在( - ,a3)和(0,+)上单调递增,在(a3,0)上单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.(i)当a0时,由(1)知,f (x)在0,1上单调递增,所以f (x)在区间0,1上的最小值为f (0)=b,最大值为f (1)=2 - a+b,所以
3、b= - 1,2 - a+b=1,则a=0,b= - 1,与a0矛盾,所以a0不成立.(ii)当a=0时,由(1)知,f (x)在0,1上单调递增,所以由f (0)= - 1,f (1)=1得a=0,b= - 1.(iii)当0a3时,由(1)知,f (x)在(0,a3)上单调递减,在(a3,1)上单调递增,所以f (x)在0,1上的最小值为f (a3)= - a327+b,最大值为f (0)=b或f (1)=2 - a+b.若 - a327+b= - 1,b=1,则a=332,与0a3矛盾.若 - a327+b= - 1,2 - a+b=1,则a=33或a= - 33或a=0,与0a3矛盾.
4、(iv)当a3时,由(1)知,f (x)在0,1上单调递减,所以f (x)在区间0,1上的最大值为f (0)=b,最小值为f (1)=2 - a+b,所以2 - a+b= - 1,b=1,则a=4,b=1.综上,满足题设的a,b存在.当a=0,b= - 1或a=4,b=1时,f (x)在区间0,1上的最小值为 - 1且最大值为1.感悟升华阅卷现场得分点第(1)问采点得分说明求导正确得1分;区间及对应的单调性正确得1分;区间及对应的单调性正确得1分;区间及对应的单调性正确得1分.4分第(2)问采点得分说明求解正确得1分;结果正确得1分;结果正确得2分;结果正确得2分;结果正确得1分;写出最终结论
5、得1分.8分提分探源在第(2)问中,假设存在这样的a,b,则有-1f(0)=b1,-1f(1)=2-a+b1,所以0b+1ab+34.于是可避免对a0得单调性.求什么想什么要证明f (x)有且仅有两个零点,即要证明f (x)在(0,1)和(1,+)上分别有一个零点.差什么找什么在(1,+)内分别取两个特殊值,使得一个函数值小于0,而另一个函数值大于0(可取e,e2),即可证明f (x)在(1,+)上有一个零点,记为x1.注意到f (1x)= - lnx - 1x+11x-1= - lnx+x+1x-1= - f (x),即可证明f (x)在(0,1)上有零点1x1. (2)给什么得什么由x0是
6、f (x)的一个零点知lnx0=x0+1x0-1.差什么找什么易知点B( - lnx0,1x0)在曲线y=ex上,要证明曲线y=lnx在点A处的切线也是曲线y=ex的切线,只需证明直线AB的斜率和曲线y=lnx在点A处的切线的斜率及曲线y=ex在点B处的切线的斜率相等.(1)f (x)的定义域为(0,1)(1,+).因为f (x)=1x+2(x-1)20,所以f (x)在(0,1)和(1,+)上单调递增.2分因为f (e)=1 - e+1e-10,所以f (x)在(1,+)上有唯一零点,记此零点为x1,则f (x1)=0.4分又01x11,f (1x1)= - lnx1+x1+1x1-1= -
7、 f (x1)=0,故f (x)在(0,1)上有唯一零点1x1.综上,f (x)有且仅有两个零点.6分(2)因为1x0=e-lnx0,故点B( - lnx0,1x0)在曲线y=ex上.7分由题设知f (x0)=0,即lnx0=x0+1x0-1,连接AB,则直线AB的斜率kAB=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.9分曲线y=ex在点B( - lnx0,1x0)处的切线的斜率是1x0,曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线的斜率也是1x0,所以曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.12分感悟升华满分策
8、略1.得步骤分:抓住得分点,争得满分.如第(1)问中,求导,判断单调性,利用零点存在性定理确定零点个数.2.得关键分:解题过程中不可忽视关键点,有则给分,无则没分.如第(1)问中,求出f (x)的定义域为(0,1)(1,+),判断f (x)在定义域内的单调性;第(2)问中,找关系式lnx0=x0+1x0-1,判定直线AB的斜率与曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线的斜率及曲线y=ex在点B处的切线的斜率相等.3.得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证,如第(1)问中,求f (x)准确是关键,否则全盘皆输.第(2)问中,正确计算kAB等是关键,否则不得分.一题多解第(2)问也可
9、用如下思路求解:先求出y=lnx在点A处的切线方程y=xx0+lnx0 - 1;再求出y=ex在点(x2,ex2)处的切线方程y=ex2x+ex2(1 - x2),由ex2=1x0知x2= - lnx0,则y=xx0+1x0(1+lnx0).于是只需证明1x0(1+lnx0)与lnx0 - 1相等,将lnx0=x0+1x0-1分别代入,得它们均为2x0-1,即可证明.32018全国卷,21,12分理已知函数f (x)=1x - x+aln x.(1)讨论f (x)的单调性;(2)若f (x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x22,令f (x)=0,得x=a-a2-4
10、2或x=a+a2-42.当x(0,a-a2-42)(a+a2-42,+)时,f (x)0.所以f (x)在(0,a-a2-42)和(a+a2-42,+)上单调递减,在(a-a2-42,a+a2-42)上单调递增.5分(2)由(1)知,若f (x)存在两个极值点,则a2.6分因为f (x)的两个极值点x1,x2满足x2 - ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.7分因为f(x1)-f(x2)x1-x2= - 1x1x2 - 1+alnx1-lnx2x1-x2= - 2+alnx1-lnx2x1-x2= - 2+a-2lnx21x2-x2,9分所以f(x1)-f(x2)x1-x2a - 2
11、等价于1x2 - x2+2lnx20.10分设函数g(x)=1x - x+2lnx,由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减,又g(1)=0,所以当x(1,+)时,g(x)0.11分所以1x2 - x2+2lnx20,即f(x1)-f(x2)x1-x2a - 2.12分感悟升华命题探源本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值点与不等式的证明等,考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想等,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.素养探源素养考查途径数学运算求f (x),解方程,代数式恒等变形等.逻辑推理分类讨论,由导数的符号判
12、断函数的单调性,辅助函数的构造等.失分探源a.计算失误.如求f (x)出错,或求f(x1)-f(x2)x1-x2出错.b.不善于分类讨论.在第(1)问中,求出f (x)= - x2-ax+1x2,没有想到用分类讨论的方法确定f (x)在(0,+)上的符号.c.忽略函数的定义域.没有注意到f (x)的定义域,导致第(1)问出错,或使分类讨论过程复杂(潜在失分).d.不善于发现隐含条件.在第(2)问中没有想到x1,x2是方程x2 - ax+1=0的两根,从而没有运用x1x2=1.e.不善于转化.没有将 - 2+a-2lnx21x2-x2a - 2转化为1x2 - x2+2lnx20,进而构造函数求解.提分探源高考中的解答题在阅卷评分时,一般是“据点给分”或“分段给分”.依据该题考查的知识点和基本技能,分步给分,只要在解答过程中抓住得分点,就能得到步骤分.相应地,考生分段得分一般有两种措施:分步解答,能写几步就写几步,得到相应的步骤分.跳步解答,若解题中卡在某一处,来不及证明中间结论,则可以跳过这一步,写出后续步骤;若题目的第一问做不出来,可将第一问作为“已知”,完成第二问,也可能得分.答题策略函数与导数类解答题,无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题,需要先求出函数的导数,然后通过导数判断函数单调性来求解,因此掌握导数与函数的单调性的关系尤为重要.2