1、2 实际问题的函数建模 基础认知自主学习 1常用的函数模型名称解析式条件一次函数模型ykxbk0反比例函数模型ykx bk0二次函数模型一般式：yax2bxc顶点式：yax b2a24acb24aa0指数函数模型ybaxcb0，a0，且 a1名称解析式条件对数函数模型ymlogaxnm0，a0，且 a1幂函数模型yaxnba02.数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了
2、事物规律，这种方法称为数据拟合解决应用问题的关键是什么？提示：将实际问题转化为数学问题 1如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x210123y11614141664A.一次函数模型 B二次函数模型C对数函数模型D指数函数模型【解析】选 D.经过验证函数 y4x 满足题意2(教材例题改编)用一根长为 12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是_m2.【解析】设铁框架的一边为 x m，则其面积 S（122x）x2x26x(x3)29.由x0，122x0，得 0 x6.所以，当 x3 时，S 取最大值 9.答案：93西北某羊皮手套公司准备投
3、入适当的广告费对其生产的产品进行促销在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L512 x28x(x0).则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大【解析】由题意得 L512 x28x512 2x28x 21.5，当且仅当x2 8x，即x4 时等号成立此时 L 取得最大值 21.5.故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大答案：4能力形成合作探究类型一 用已知函数模型解决实际问题(数据分析、数学运算)1某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关系为 y6x30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文
4、具盒()A2 000 套 B3 000 套 C4 000 套 D5 000 套【解析】选 D.因利润 z12x(6x30 000)，所以 z6x30 000，由 z0，解得x5 000，故至少日生产文具盒 5 000 套2如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系图像根据图像填空：(1)通话 2 分钟，需要付电话费_元(2)通话 5 分钟，需要付电话费_元(3)如果 t3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为_【解析】(1)由图像可知，当 t3 时，电话费都是 3.6 元，所以通话 2 分钟，需要付电话费 3.6
5、元(2)由图像可知，当 t5 时，y6，需付电话费 6 元(3)易知当 t3 时，图像过点(3，3.6)，(5，6)，利用待定系数法求得 y1.2t(t3).答案：(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)3某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y4x，1x10，xN，2x10，10 x10，不合题意；若 2x1060，则 x25，满足题意；若 1.5x60，则 x400，这与试验数据在 v0 时有意义矛盾，所以不选择该函数模型从而只能选择函数模型 Qav3bv2cv，由试验数据得abc0.7，8a4b2c1.6，27a9b3c3.3，即abc0.7，4a2bc0.8，9
6、a3bc1.1，解得a0.1，b0.2，c0.8，故所求函数解析式为 Q0.1v30.2v20.8v(0v3).(2)设超级快艇在 AB 段的航行费用为 y(万元)，则所需时间为3v(小时)，其中 0v3，结合(1)知，y3v 0.1v30.2v20.8v0.3v1 27，所以当 v1 时，ymin2.1.答：当该超级快艇以 1 百公里/小时航行时可使 AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为 2.1 万元 解决拟合函数模型问题的步骤(1)根据原始数据、表格，绘制两个变量间的散点图(2)通过散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线(3)根据所学函数知识，结合已知数据，求出拟合直
7、线或拟合曲线的函数关系(4)利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和检验，为决策和管理提供依据1某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50 及以下的部分0.568超过 50 至 200 的部分0.598超过 200 的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50 及以下的部分0.288超过 50 至 200 的部分0.318超过 200 的部分0.388若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电
8、量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元(用数字作答)【解析】高峰时间段 200 千瓦时的电费为 500.5681500.598118.1(元)，低谷时间段 100 千瓦时的电费为 500.288500.31830.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为 118.130.3148.4(元).答案：148.42某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元，其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污水所用原料费 2 元
9、，并且每月排污设备损耗为 30 000 元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方米污水需付 14 元的排污费问：(1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明(2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解析】设工厂每月生产 x 件产品时，依方案一的利润为 y1，依方案二的利润为y2，由题意知 y1(5025)x20.5x30 00024x30 000，y2(5025)x140.5x18x.(1)当 x3 000 时，y142 000，y254 000，因为 y1y2，所以应
10、选择方案一处理污水3改革开放四十周年纪念币从 2018 年 12 月 5 日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念币 1 枚的市场价 y(单位：元)与上市时间 x(单位：天)的数据如下：上市时间 x 天81032市场价 y 元826082(1)根据上表数据，从yaxb；yax2bxc；yalogbx 中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念币的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由(2)利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念币市场价最低时的上市天数及最低的价格【解题指南】(1)根据函数单调性选择模型；(2)求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值【解析】(1)由表格可知随着
11、上市时间的增加，市场价 y 先减少，后增大，而函数yaxb 和 yalogbx 均为单调函数，显然不符合题意；故选择函数模型 yax2bxc.(2)把 8，82，10，60，32，82代 入y ax2 bx c得64a8bc82，100a10bc60，1 024a32bc82，解得：a12，b20，c210，所以 y12 x220 x21012(x20)210，所以上市天数为 20 时市场价最低，最低价格为 10 元1一辆汽车在某段路上的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图像如图，那么图像所对应的函数模型为()A分段函数 B二次函数C指数函数D对数函数学情诊断课堂测评【解析】选 A.由图像知，
12、在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数2某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元)为 y14.1x0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y22x，其中 x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5 万元B11 万元C43 万元D43.025 万元【解析】选 C.设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1x21220.1212432.因为 x0，16
13、且 xN，所以当 x10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元3某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 yalog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为 100 只，则第 7 年它们发展到()A300 只 B400 只 C600 只 D700 只【解析】选 A.将 x1，y100 代入 yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得 a100.所以 x7 时，y100log2(71)300.4(教材习题改编)国内快递 1 000 g 以内的包裹的邮资标准如表：运送距离x(km)0 x500500 x1 0001 000 x1 500邮资 y(元)5.006.007.00如果某人在西安要快递 800 g 的包裹到距西安 1 200 km 的某地，那么他应付的邮资是()A5.00 元 B6.00 元 C7.00 元 D8.00 元【解析】选 C.由题意可知，当 x1 200 时，y7.00 元