1、第三讲等比数列及其前n项和 1.改编题下列结论中,错误的个数为()满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.a,b,c三个数成等比数列的充要条件是b2=ac.如果数列an为等比数列,bn=a2n - 1+a2n,则数列bn也是等比数列.如果数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列.A.1B.2C.3D.42.北京高考,5分设an是公比为q的等比数列,则“q1”是“an为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.2019全国卷,6,5分文已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则
2、a3=()A.16B.8C.4D.24.记等比数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=6,则S4=()A.10或8B. - 10 C. - 10或8D. - 10或 - 85.2020贵阳市高三摸底测试等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.10C.8D.2+log356.2017全国卷,3,5分我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3
3、盏C.5盏D.9盏7.2016全国卷,15,5分设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.考法1 等比数列的判定与证明12018全国卷,17,12分文已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.(1)由nan+1=2(n+1)an得到an+1=2(n+1)nan求出a2=4,a3=12,分别代入bn=ann,求出b1,b2,b3(2)由题设条件得出bn+1=2bn即可证明数列bn是等比数列(3)借助(2)的结论求出bn的通项公式进一步求
4、出an的通项公式(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,因为a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,2a3=6a2,所以a3=12.因为bn=ann,所以b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n - 1,所以an=n2n - 1.1.2016全国卷,17,12分已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求.考法2
5、 等比数列的基本运算2(1)2019全国卷,14,5分记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.(2)2017全国卷,14,5分设等比数列an满足a1+a2= - 1,a1 - a3= - 3,则a4=.(3)在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=.(1)解法一设等比数列an的公比为q,因为a42=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1.又a1=13,所以q=3,所以S5=a1(1 - q5)1 - q=13(1 - 35)1 - 3=1213.解法二设等比数列an的公比为q,因为a42=a6,所以a2a6=a6,
6、所以a2=1.又a1=13,所以q=3,所以S5=a1(1 - q5)1 - q=13(1 - 35)1 - 3=1213.(2)设等比数列an的公比为q,则a1+a2=a1(1+q)= - 1,a1 - a3=a1(1 - q2)= - 3.两式相除,得1+q1 - q2=13,解得q= - 2.代入得a1=1,所以a4=a1q3= - 8.(3)解法一(通项法)由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比数列an的通项公式an=a1qn - 1=4n - 1.解法二(对称设元)由题意可设等比数列an的前3项分别为x4,x,4x,则x4+x+4x=21,解得x=4,所以等比数
7、列an的通项公式an=a2qn - 2=44n - 2=4n - 1.(应用an=amqn - m)2.(1)已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则a1=()A.12 B.22 C.2 D.2(2)已知数列an是等差数列,若a2,a4+3,a6+6构成公比为q的等比数列,则q=()A.1 B.2 C.3 D.4(3)数学文化题中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.则此人第二天走了
8、()A.96里 B.48里 C.192里D.24里考法3 等比数列的性质的应用3(1)2019江西名校联考已知数列an为各项均为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,若a1a7=4,且a4+2a7=52,则S5=A.32B.31C.30D.29(2)在等比数列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为A.1B.2C.3D.5(1)因为a1a7=4,所以a42=4,(活用等比数列通项的性质:若n+m=2p,则anam=ap2(m,n,pN*),注意与等差数列通项的性质的区别)因为an0,所以a4=2.(注意“各项均为正数的等比数列”的应用)因为a4+2a7=5
9、2,所以a4(1+2q3)=52,(活用等比数列通项的性质:an=amqn - m(m,nN*)所以q3=18,所以q=12,所以a1=16,所以S5=161 - (12)51 - 12=31.(2)因为an为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,(分别把a1+a3,a5+a7看成整体)所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11=(a5+a7)2a1+a3=428=2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15=(a9+a11)2a5+a7=224=1.所
10、以a9+a11+a13+a15=2+1=3.(1)B(2)C42019山东省实验中学模拟已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且S8 - 2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为A.25B.20C.15D.10在正项等比数列an中,Sn0.因为S8 - 2S4=5,所以S8 - S4=5+S4,易知S4,S8 - S4,S12 - S8成等比数列,(注意不是S4,S8,S12成等比数列)所以(S8 - S4)2=S4(S12 - S8),所以S12 - S8=(S4+5)2S4=25S4+S4+10225S4S4+10=20(当且仅当S4=5时取等号).因为S12 - S8=a9+
11、a10+a11+a12,所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.B解后反思求解本题时,一般解法是利用等比数列的前n项和的公式得首项a1和公比q的关系式,把a9+a10+a11+a12用含q的代数式表示出来,再利用基本不等式,求得所求最小值,运算较为烦琐.若利用等比数列的性质“Sk为等比数列的前k项和且Sk0,kN*,那么Sk,S2k - Sk,S3k - S2k成等比数列”,则可提升求解速度,通过该性质的运用,把a9+a10+a11+a12转化为含S4的代数式,并利用基本不等式求最小值,考查了逻辑推理、数学运算等核心素养.3.(1)设在等比数列an中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6
12、=7,则a7+a8+a9=()A.18B. - 18C.578D.558(2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*),已知am - 1am+1 - 2am=0,且T2m - 1=128,则m的值为()A.4B.7C.10D.122951.D对于,当n属于正整数,q为常数且不等于0时,数列an为等比数列,故错误;对于,由等比中项的概念可知,a,b,c三个数成等比数列的必要条件是b2=ac,故错误;对于,当等比数列an的公比q= - 1时,bn=0,此时bn不是等比数列,故错误;对于,当an为正数时,数列ln an是等差数列,故错误.所以结论中错误的个数为4,故选D.2.D等比数列 - 1, -
13、 2, - 4,满足公比q=21,但an不是递增数列,即充分性不成立.an= - 1(12)n - 1为递增数列,但q=121”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选D.3.C设等比数列an的公比为q,由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4,得q2=4,因为数列an的各项均为正数,所以q=2.又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4,故选C.4.C设等比数列的公比为q,因为a1=2,S3=6,所以S3=2+2q+2q2=6,则q2+q - 2=0,所以q=1或q= - 2.当q=1时,S4=S3+2=8
14、;当q= - 2时,S4=S3+a1q3=6+2( - 2)3= - 10.故选C.5.B由等比数列的性质及题意可知,a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9,所以log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10)=log395=10,故选B.6.B由题意知,每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为an,则前7项的和S7=381,公比q=2,依题意,得a1(1 - 27)1 - 2=381,解得a1=3,故选B.7.64解法一设等比数列an的公比为q,由a1+a3=10,a2+a4=5得,a1(1+q2)=10,a1q(1+q2)=5,解得a1=8,q=12
15、.所以a1a2an=a1nq1+2+(n - 1)=8n(12)n(n - 1)2=2 - 12n2+72n.记t= - n22+7n2(nN*),则t= - 12(n2 - 7n)= - 12(n - 72)2+498,易知当n=3或4时,a1a2an取得最大值26=64.解法二设等比数列an的公比为q,由题可知a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5,则q=12,a1=8,所以an=8(12)n - 1=24 - n.当n=4时,a4=1,所以a1a2a3a4=1a5a6.所以a1a2an取最大值时n=3或4.所以a1a2an的最大值为64.1.(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,
16、a1=11 - ,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1 得an+1=an+1 - an,即an+1( - 1)=an.又a10,0且1,所以an+1an= - 1.所以an是首项为11 - ,公比为 - 1的等比数列,故an=11 - ( - 1)n - 1.(2)由(1)得Sn=1 - ( - 1)n.由S5=3132得1 - ( - 1)5=3132,即( - 1)5=132,解得= - 1.2.(1)B设公比为q(q0),由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,则q=2,所以a1=a2q=12=22.故选B.(2)A设等差数列an的公差为d,由a2,a4+3,a6+6构成
17、公比为q的等比数列,得(a4+3)2=a2(a6+6),即(a1+3d+3)2=(a1+d)(a1+5d+6),化简得(2d+3)2=0,解得d= - 32.所以q=a4+3a2=a1 - 92+3a1 - 32=a1 - 32a1 - 32=1.故选A.(3)A由题意得,将此人每天所走的路程从第一天起依次排列,形成一个公比为12的等比数列,记为an,其前6项和等于378,于是有a11 - (12)61 - 12=378,解得a1=192,所以a2=12a1=96,即此人第二天走了96里,故选A.3.(1)A因为a7+a8+a9=S9 - S6,且S3,S6 - S3,S9 - S6成等比数列,所以8(S9 - S6)=1,所以S9 - S6=18,即a7+a8+a9等于18.故选A.(2)A因为an是等比数列,所以am - 1am+1=am2.又am - 1am+1 - 2am=0,则am2 - 2am=0,所以am=2(am=0舍去).由等比数列的性质可知前2m - 1项的积T2m - 1=am2m - 1,即22m - 1=128,解得m=4.故选A.
