1、第5讲动态平衡问题和平衡中的临界、极值问题一、动态平衡问题“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向要发生变化,但变化过程中的每一时刻的状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。解动态平衡问题两种常用的方法是解析法和图解法。二、平衡中的临界、极值问题1.临界状态:是从一种物理现象转变为另一种物理现象,或从一个物理过程转入另一个物理过程的转折状态。临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。2.解答临界、极值问题的关键是找到临界条件。1.如图所示,将所受重力为G的光滑小球用轻质细绳拴在竖直墙壁上,当把绳的长度增长,则下列判断正确的
2、是()A.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均减小B.绳对球的拉力T增大,墙对球的弹力N减小C.绳对球的拉力T减小,墙对球的弹力N增大D.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均增大答案A2.如图所示,轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点,轻绳OC一端悬挂一重物。已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。问悬挂的重物的重力不得超过多少?答案1003 N考点一动态平衡问题所谓动态平衡问题,是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。解决此类问题的常用方法有解析法和图解法。例1如图所示,用轻细绳AO和BO将质量
3、为m的重物悬吊起来,静止时AO是水平的,BO与竖直方向的夹角为。已知重力加速度为g。设AO绳的拉力为F1,BO绳的拉力为F2。(1)如果保持节点O的位置不变,将B点向左缓慢移动(同时增加绳长),则() A.F2变小,F1变大B.F2变大,F1变小C.F1和F2的合力不变D.F1和F2的合力变小(2)如果保持节点O的位置不变,将A点向上缓慢移动(同时增加绳长),F1和F2分别怎样变化?答案见解析解析(1)方法1:在B点缓慢左移的过程中,缓慢增大,而O点始终保持受力平衡状态,F1和F2均发生变化,但它们的合力一定不变,F=mg,方向竖直向上;因F1=mg tan ,F2=mgcos,所以增大,ta
4、n 增大、cos 减小。所以F2逐渐增大,F1逐渐增大。方法2:F1和F2的合力大小、方向不变,F1的方向不变。作矢量图如图甲所示,可以看出当角逐渐增大的过程中,F2和F1对应的边长均逐渐增大。(2)因为在缓慢移动A点的过程中,F1、F2和F构成的三角形不再是直角三角形。作矢量图如图乙所示,可以看出F1先减小后增大,F2逐渐减小。OA绳上的拉力有最小值Fmin=mg sin 。例2如图,一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的弹力大小为N1,球对木板的压力大小为N2。将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦,在此过程中()A.N1始终减小,N2始终增大B.N1始终减小,N2始终减小
5、C.N1先增大后减小,N2始终减小D.N1先增大后减小,N2先减小后增大答案B对小球进行受力分析,如图所示,设板与墙的夹角为,板转到水平位置过程中逐渐增大,N1=mgtan,N2=N2=mgsin,可知N1和N2都减小,则只有B正确。考点二平衡中的临界、极值问题1.临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量发生变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言描述。常见的临界状态有:(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0);(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值;绳子绷紧与松弛的临
6、界条件为绳中张力为0;(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。研究的基本思维方法:假设推理法。2.极值问题:平衡物体的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用图解法或解析法进行分析。例3三段不可伸长的轻质细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同,它们共同悬挂一物体,如图所示,其中OB是水平的,A端、B端固定。若逐渐增加C端所挂物体的质量,则最先断的绳() A.必定是OAB.必定是OBC.必定是OCD.可能是OB,也可能是OC答案A以结点O为研究对象,在绳子均不被拉断时受力图如图,则知:FOAFOB,FOAFOC,即OA绳的拉力最大,
7、而细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同,则当物体质量逐渐增加时,OA绳最先被拉断,故选A。例4如图所示,质量为m的物体放在水平地面上,物体与水平地面间的动摩擦因数为。现施以与水平方向成角且斜向上的拉力F,为使物体能沿水平地面做匀速运动,当取何值时,力F最小?此最小值为多大?答案见解析解析物体受力如图所示。将力F分解为水平分力F1和竖直分力F2,则有F1=fF2+N=G即F cos =N=N(N为物体对地面的正压力)F sin +N=G所以F=mgcos+sin为使F最小,可令sin =11+2,则上式可化为F=mg1+2sin(+)当+=90,即=90-,满足tan =时,F有最小值,此最
8、小值为mg1+2。A组基础达标1.如图所示,在倾角为的光滑斜面上有一光滑挡板A,在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B,开始板A处于竖直位置,现使其绕下端O点沿逆时针方向缓缓转至水平位置,分析重球B对斜面和对挡板压力的变化情况是()A.对斜面的压力逐渐减小,对挡板的压力逐渐减小B.对斜面的压力逐渐增大,对挡板的压力逐渐减小C.对斜面的压力逐渐减小,对挡板的压力先变小后变大D.对斜面的压力逐渐减小,对挡板的压力先变大后变小答案C分析球的受力情况,受到重力mg、挡板对球的弹力FA及斜面对球的支持力FB,如图所示,球处于静止状态,弹力FA与FB的合力F的大小等于重力的大小,方向竖直向上。当挡板绕下端O
9、点沿逆时针方向缓慢转至水平位置的过程中,可以看出表示弹力FA的边的长度先变小后变大,即弹力FA先变小后变大;表示支持力FB的边的长度一直变短,即说明FB一直变小。由牛顿第三定律可知,球对挡板的压力先变小后变大,对斜面的压力逐渐减小。选项C正确。2.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O,如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小,在O点向左移动的过程中()A.F逐渐变大,T逐渐变大B.F逐渐变大,T逐渐变小C.F逐渐变小,T逐渐变大D.F逐渐变小,T逐渐变小答案A由题意知,系统处于动态平衡状态,分析O点的受力情况,其中T=G恒定不变,F方向不变,T大小方向均改变,
10、在O点向左移动的过程中,角逐渐变大,由动态矢量三角形可知F、T均逐渐变大,故A项正确。3.如图将质量为m的小球a用轻质细线悬挂于O点,用力F拉小球a,使整个装置处于静止状态,且悬线与竖直方向的夹角=30,重力加速度为g,则F的最小值为()A.33mgB.12mgC.32mgD.2mg答案B整个装置处于静止状态,小球受力平衡,设线的拉力为T,根据平衡条件知:F与T的合力与小球的重力mg总是大小相等、方向相反,由力的合成图可知,当F与线垂直时,F有最小值,如图所示。F的最小值为Fmin=mg sin =12mg,选项B正确。4.(2021朝阳期中)如图所示,两根细绳AO和BO连接于O点,O点下方用
11、细绳CO悬挂一重物,并处于静止状态,绳AO拉力为F1,绳BO拉力为F2。保持A、O点位置不变,而将绳BO缓慢向B1O、B2O移动直至水平。对于此过程,下列选项正确的是()A.F1逐渐变小B.F2逐渐变小C.F1、F2的合力逐渐变小D.F1、F2的合力保持不变答案D以结点O为研究对象进行受力分析,OA和OB绳上力的合力与OC绳上的力等大反向,故F1和F2的合力保持不变,D正确。采用矢量三角形定则,由图示可得,F1逐渐变大,F2先减小后增大。5.(多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,
12、当衣架静止时,下列说法正确的是()A.绳的右端上移到b,绳子拉力不变B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移答案AB衣架挂钩为“活结”模型,作出受力示意图如图所示,oa、ob为一根绳,两端拉力相等,设绳aob长为L,M、N间的水平距离为d,bo延长线交M于a,由几何知识知ao=ao,sin =dL,由平衡条件有2F cos =mg,则F=mg2cos,当b上移到b时,d、L不变,不变,故F不变,选项A正确,C错误。将杆N向右移一些,L不变,d变大,变大, cos 变小,则F变大,选项B正确。只改变m,其他条件不变,则sin
13、 不变,不变,衣架悬挂点不变,选项D错误。6.如图所示,质量m=1 kg的物块在与水平方向夹角为=37的推力F作用下静止于墙壁上,物块与墙之间的动摩擦因数=0.5,推力F应满足什么条件?(最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2)答案10 NF50 N解析当F较大时,物块会有向上滑动的趋势,摩擦力向下,当物块恰不上滑时,力F有最大值(受力如图1所示)所以N=Fmax cos Fmax sin =f+mgf=Fmax sin -mg又f=N代入数据可以得出Fmax=50 N。当力F较小时,物块有向下滑动的趋势,摩擦力向上,所以当物块恰不下滑时,力F有最小值(受力如图2所示),由平
14、衡条件可得出N=Fmin cos Fmin sin +f-mg=0f=mg-Fmin sin ,又f=N代入数据可以得出Fmin=10 N所以要使物块静止于墙壁上,推力F的取值范围为10 NF50 N。B组综合提升7.如图所示,小球用细绳系住放在倾角为的光滑斜面上,当细绳由水平方向逐渐向上偏移时(球位置不变,绳加长),细绳上的拉力将()A.逐渐增大B.逐渐减小C.先增大后减小D.先减小后增大答案D对小球进行受力分析,小球受重力G、斜面的支持力FN、细绳的拉力FT,因为G、FN、FT三力共点平衡,故三个力可以构成一个矢量三角形,如图所示。G的大小和方向始终不变,FN的方向不变,大小可变,FT的大
15、小、方向都在变,在细绳向上偏移的过程中,可以作出一系列矢量三角形,显而易见FT在从水平变化到与FN垂直前是逐渐变小的,之后FT又逐渐变大,故正确答案为D。8.如图所示,一小球在斜面上处于静止状态,不考虑一切摩擦,如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置,则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是()A.F1先增大后减小,F2一直减小B.F1先减小后增大,F2一直减小C.F1和F2都一直减小D.F1和F2都一直增大答案B小球受力如图甲所示,因挡板缓慢转动,所以小球处于动态平衡状态,在挡板转动过程中,小球所受三力(重力G、斜面的支持力FN、挡板的弹力F)组合成的矢量三角形的
16、变化情况如图乙所示(重力大小、方向均不变,斜面对其支持力方向不变),由图可知此过程中斜面对小球的支持力不断减小,挡板对小球的弹力先减小后增大,再由牛顿第三定律知B对。9.(多选)漏电是常见的现象,如图所示,竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A,Q正上方P点处用细线(长度为l)悬挂着另一质点B,A、B两质点因为带相同电荷而相互排斥,致使细线与竖直方向成角,由于漏电,A、B两质点的带电荷量逐渐减少。在电荷量减少到零之前有关细线对悬点P的拉力T和质点A、B之间库仑力F的大小,说法正确的是()A.T保持不变B.F先变大后变小C.F逐渐减小D.T逐渐增大答案AC以质点B为研究对象,受到重力G、库仑力F和
17、线的拉力T三个力作用,如图所示。作出F、T的合力F,则由平衡条件得F=G。设A、B间距离为x,根据三角形相似得GPQ=Tl=Fx,得T=lPQG,F=xPQG,在A、B两质点带电荷量逐渐减少的过程中,l、PQ、G均不变,则线的拉力T不变,由牛顿第三定律可知T不变;因电荷量的减少,质点A、B相互靠近,x减小,库仑力F减小,故A、C正确,B、D错误。10.如图所示,质量为m的物体,放在一固定斜面上,当斜面倾角为30时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F的水平向右的恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角0时,不论水平恒力F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,求:(1)物体与斜面间的动摩擦因数;(2)这一临界角0的大小。答案(1)33(2)60解析(1)当斜面倾角为30时,物体恰能匀速下滑满足mg sin 30=mg cos 30解得=33(2)设斜面倾角为,物体受力情况如图,由物体受力平衡得F cos =mg sin +FfFN=mg cos +F sin Ff=FN解得F=mgsin+mgcoscos-sin当cos - sin =0即tan =1时,F,即“不论水平恒力F多大”,都不能使物体沿斜面向上滑行,此时临界角 0=60。