1、湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）时量：120分钟 总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合A，然后直接利用交集运算得答案.【详解】解：，故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题.2. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选项不难得出答案.【详解】解：，
2、要使恒成立，则恒成立，即，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B符合.故选：B【点睛】本题考查全称量词的意义与充分、必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题.3. 设向量，且，方向相反，则的值是（ ）A. 2B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】由，方向相反，可得，即，由此求得的值【详解】解：向量，且，方向相反，则，即，解得或（舍去）故，故选：【点睛】本题主要考查相反的向量的定义，属于基础题4. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和，所
3、以几何体的表面积为考点：三视图与表面积5. 在中，分别为的对边，这个三角形的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意，解得，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.6. 已知m=，n=，则m，n之间的大小关系是（）A. mnB. mn,选A考点：本试题主要考查了均值不等式的运用，求解最值点评：解决该试题的关键是理解不等式中求解最值时，要满足的条件是一正二
4、定三相等得到最值的求解7. 已知函数是定义域为偶函数，且，若在上是减函数，记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】，函数是周期为2的周期函数；为偶函数，在上是减函数，在上单调递增，并且，故选A.点睛：本题主要考查偶函数的定义，函数的单调性，首先根据得函数为周期函数，偶函数在其对称区间内单调性相反，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间上，根据单调性去比较函数值大小.8. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，
5、结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，且当时，所以当时，因为函数有六个零点，所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设，由图知关于直线对称，关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，取等号的条件为，因为等号取不到，所以，又当时，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
6、求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9. 已知，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】通过特殊值，排除错误选项，结合不等式性质即可解答.【详解】A中，又，所以根据不等式的性质可得，故A正确；B中，故B错误；C中，故C正确；D中，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，属于基础题.10. 将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 的图象关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图象关于点对称D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导
7、公式、二倍角和辅助角公式化简可得，根据三角函数伸缩变换可知，采用代入检验的方式可依次判断的正误；根据三角函数平移变换可判断的正误.【详解】.，对于，当时，关于直线对称，正确；对于，当时，正确；对于，当时，关于点对称，错误；对于，向右平移个单位得：，正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数相关命题的辨析，涉及到利用诱导公式、二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数对称轴、对称中心以及值域的辨析、三角函数平移变换等知识，是对三角函数知识的综合考查.11. 给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为；B. 函数的单调递减区间是；C. 若定义在R上的函数在区间上是单
8、调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数；D. ，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.【答案】ABC【解析】【分析】根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.【详解】解：对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A错误；对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误；对于C，若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在上不一定为单调增函数，故C错误；对于D，为单调性的定义，正确.故答案为：ABC.【点睛】本题主要考查函数定义域和单调性的概念，属于基础题.12. 如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，则（ ）A. 直线与的夹角为B. 平面平
9、面C. 点到平面的距离为D. 若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【答案】ABD【解析】【分析】对A：通过平移使直线与共面来求解；对B：通过证明线面垂直来得到面面垂直；对C：利用体积法求点到面的距离；对D：作出截面可判断.【详解】解：对A，连结，则为直线与，明显为等边三角形，故A正确；对B，易得，所以面，所以平面平面，故B正确；对C，又，所以点到平面的距离为，故C错误；对D，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查线面角，点面距离，截面问题，面面垂直，考查空间想象能力和计算能力，是中档题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. ，
10、则的值是_【答案】【解析】【分析】设，则，利用诱导公式及二倍角公式即可求出.【详解】设，则，且，则故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查利用换元法求值问题，属于基础题.14. 若满足约束条件，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z2x+y为y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立 得A（2,2），故z的最小值为6故答案为6点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15
11、. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据，利用基本不等式得出，即，求解即可得到得出的范围.【详解】因为，所以（当且仅当时等号成立），因为恒成立，所以，解得：.故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题.16. 已知函数的图象关于直线对称，则 _； 函数的最小值为 _.【答案】 (1). 5 (2). 【解析】【分析】根据函数图像的对称性可得,可对进行赋值,求,构造函数，根据二次函数的性质，即可得出结果.【详解】因为图像关于直线对称,所以当时,得当时,得联立可得:,所以；所以,令,则，因为是开口向
12、上，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为:【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设：实数满足，：.（1）若，且，都为真命题，求取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由为真时，得，由，都为真命题，即可求出的范围；（2）由充分不必要条件的定义，得，则解之即可.【详解】解：（1）若，则可化为，得.若为真命题，则.，都为真命题时，的取值范围是.（2）由
13、，得.：，是的充分不必要条件，则，得.实数的取值范围是.【点睛】本题考查命题的真假和充分、必要条件，考查推理能力和计算能力，属于一般题.18. 已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式.（2）设，数列的最小项是第几项？求出最小项的值.【答案】（1）；（2）最小项是第4项，该项的值为23.【解析】【分析】（1）设公差为，根据，列出方程组求出首项与公差，进而可得通项公式；（2）由（1）可得，利用基本不等式即可求解.【详解】解：（1）设数列的公差为，则有，即，解得.所以数列的通项公式为.（2），所以，当且仅当，即时上式取等号，故数列的最小项是第4项，该项的值为23.【点睛】本题考查等差数列的
14、通项公式以及前项和公式，考查利用基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于中档题.19. 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是，向量(ac，bc)，(bc，a)，且.（1）求B；（2）若b，cos，求a.【答案】(1)； (2)1.【解析】【分析】（1）由，整理得，结合余弦定理，即可求解；（2）由（1）得，利用三角函数的基本关系式，求得，进而得到，再利用正弦定理，即可求解.【详解】（1）由题意，因为，所以，整理得，由余弦定理可得，因为，所以. （2）由（1）可得，则，又由，所以，所以，在中，由正弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以
15、很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.20. 如图，在直三棱柱中，分别为 的中点（1）求证： 平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）取的中点E，连接EM，EN，可得四边形EMCN为平行四边形，得到CMNE再由直线与平面平行的判定可得平面；（2）由已知证明平面，以M为坐标原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由平面的法向量与所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦
16、值【详解】（1）证明：取的中点E，连接EM，EN，在中，E，M分别是，AB的中点，则EM，且，又N为的中点， ，从而有EMNC且EM=NC，四边形EMCN为平行四边形，则CMNE又CM平面，NE平面，CM平面；（2）AC=BC，M为AB的中点，CMAB，直三棱柱中，由 平面ABC，得 ，又AB= ，平面，从而又，平面，从而有，由（1）知 ，平面ABC以M为坐标原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系M-，则，C（0，2，0），N（0，2，）设平面AN的法向量为=（），则，取 ，则=（1，0，-2），平面的法向量为，平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能
17、力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题21. 已知函数偶函数，函数是奇函数.（1）求的值；（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用是奇函数可得的值，利用是偶函数可得的值，由此可得答案；（2）易得在区间上是增函数，可得的最小值，结合对数函数的性质可得，解不等式即可.【详解】（1）由于为奇函数，且定义域为R，即，经检验，符合题意；，是偶函数，得恒成立，故综上所述，可得（2），又在区间上是增函数，当时，由题意，得，因此实数的取值范围是：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，不等式的恒成立问题，属于中档题.22. 已知向量，
18、函数的最小值为（1）当时，求的值； （2）求；（3）已知函数为定义在R上的增函数，且对任意的都满足问：是否存在这样的实数m，使不等式+对所有恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）把，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即可；（2）转化成二次函数问题，对对称轴的位置与区间 进行讨论；（3）利用函数为定义在R上的函数，得到 ，然后，再根据函数的单调性，转化成，最后，利用换元法，转化成，求解函数在上的最大值为3，从而解决问题【详解】（1）令，则当时，（2），（3）令，所以令，所以，所以则为上的奇函数要使成立，只须 ，又由为单调增函数有，令，则， 原命题等价于对恒成立；，即.由双勾函数知在上为减函数，时，原命题成立【点睛】本题综合考查了三角函数的公式、三角恒等变换公式、二次函数最值、三角函数的图象与性质等知识，对于恒成立问题，一般思路是分离参数法，本题属于难题
