1、 1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得 ab.(2)空间向量基本定理如果向量 e1,e2，e3 是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1，2，3，使得 ae12e23e3.空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3 叫作这个空间的一个基底3
2、空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作a，b，其范围是 0a，b，若a，b2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫作向量 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律(ab)(a)b(R)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2
3、b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|a21a22a23夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23【知识拓展】1向量三点共线定理：在平面中 A、B、C 三点共线的充要条件是：OA xOB yOC(其中 xy1)，O 为平面内任意一点2向量四点共面定理：在空间中 P、A、B、C 四点共面的充要条件是：OP xOA yOB zOC(其中 xyz1)，O 为空间中任意一点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面
4、()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量 b，由 abbc，则 ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有ABBCCD DA 0.()1已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AEAF的值为()Aa2B.12a2C.14a2D.34 a2答案 C解析 如图，设ABa，ACb，AD c，则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60.AE12(ab)，AF12c，AEAF12(ab)12c14(acbc)14(a2cos 60a2cos 60)1
5、4a2.2(2016大连模拟)向量 a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是()Aab，acBab，acCac，abD以上都不对答案 C解析 因为 c(4，6,2)2(2，3,1)2a，所以 ac.又 ab(2)2(3)0140，所以 ab.故选 C.3与向量(3，4,5)共线的单位向量是_答案 3 210，2 25，22和3 210，2 25，22解析 因为与向量 a 共线的单位向量是 a|a|，又因为向量(3，4,5)的模为 3242525 2，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是 15 2(3，4，5)210(3，4,5)4.如图，在四面体 OABC 中
6、，OA a，OB b，OC c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE _.(用 a，b，c 表示)答案 12a14b14c解析 OE 12OA 12OD 12OA 14OB 14OC12a14b14c.5(教材改编)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 中点，则 EF 的长为_答案 2解析|EF|2EF 2(ECCD DF)2EC 2CD 2DF 22(ECCD ECDF CD DF)1222122(12cos 120021cos 120)2，|EF|2，EF 的长为 2.题型一 空间向量的线性运算例 1(1)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1
7、中，O 为 AC 的中点用AB，AD，AA1 表示OC1，则OC1 _.答案 12AB12AD AA1解析 OC 12AC12(ABAD)，OC1 OC CC1 12(ABAD)AA112AB12AD AA1.(2)三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC 表示MG，OG.解 MG MA AG 12OA 23AN12OA 23(ON OA)12OA 2312(OB OC)OA 16OA 13OB 13OC.OG OM MG 12OA 16OA 13OB 13OC13OA 13OB 13OC.思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用
8、已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立(2016青岛模拟)如图所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)MP NC1.解(1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以APAA1 A1D1 D1PaAD 12D1C1ac12ABac12b.(2)因为 M 是
9、AA1 的中点，所以MP MA AP12A1A AP12a(ac12b)12a12bc.又NC1 NC CC1 12BCAA112AD AA1 12ca，所以MP NC1(12a12bc)(a12c)32a12b32c.题型二 共线定理、共面定理的应用例 2(2016天津模拟)如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有OM 14(OA OB OC OD)证明(1)连接 BG，则EG EBBGEB12(BCBD
10、)EBBFEHEFEH，由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面(2)因为EH AH AE12AD 12AB12(AD AB)12BD，所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH 12BD，同理FG 12BD，所以EH FG，即 EH 綊 FG，所以四边形 EFGH 是平行四边形，所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分故OM 12(OE OG)12OE 12OG1212(OA OB)1212(OC OD)14(OA OB OC OD)思维升华(1)证明空
11、间三点 P，A，B 共线的方法PAPB(R)；对空间任一点 O，OP OA tAB(tR)；对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1)(2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法MP xMA yMB；对空间任一点 O，OP OM xMA yMB；对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(xyz1)；PM AB(或PAMB 或PBAM)已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 13(OAOB OC)(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内解(1)由题意知OA OB OC 3OM，OA OM(OM
12、OB)(OM OC)即MA BM CM MB MC，MA，MB，MC 共面(2)由(1)知MA，MB，MC 共面且基线过同一点 M，M，A，B，C 四点共面从而点 M 在平面 ABC 内题型三 空间向量数量积的应用例 3(2016济南模拟)如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段 AC1 的长；(2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值；(3)求证：AA1BD.(1)解 设ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|1，|c|2，ab0，cacb21cos 1201.AC1 ACCC1 A
13、BAD AA1 abc，|AC1|abc|abc2|a|2|b|2|c|22abbcca 1212222011 2.线段 AC1 的长为 2.(2)解 设异面直线 AC1 与 A1D 所成的角为，则 cos|cosAC1，A1D|AC1 A1D|AC1|A1D|.AC1 abc，A1D bc，AC1 A1D(abc)(bc)abacb2c20112222，|A1D|bc2|b|22bc|c|2 122122 7.cos AC1 A1D|AC1|A1D|22 7|147.故异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值为 147.(3)证明 AA1 c，BD ba，AA1 BD c(ba)cbca
14、(1)(1)0，AA1 BD，AA1BD.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a|a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.(1)求AC1 的长；(2)求BD1 与AC夹角的余弦值解(1)记ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca12.|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)
15、1112(121212)6，|AC1|6，即 AC1 的长为 6.(2)BD1 bca，ACab，|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1，cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC|66.即BD1 与AC夹角的余弦值为 66.18坐标法在立体几何中的应用典例(12 分)如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，在底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点(1)求BN的模；(2)求 cosBA1，CB1 的值；(3)求证：A1BC1M.思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题
16、，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解规范解答(1)解 如图，建立空间直角坐标系依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN|102012102 3.2 分(2)解 依题意得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)所以BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)，BA1 CB1 3，|BA1|6，|CB1|5，所以 cosBA1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.6 分(3)证明 依题意得 C1(0,0,2)，M(12，12，2)，A1B(1,1，2)，C1M(12，12，0)9 分所以A1B C1M 121200，所以A1B C1
17、M，即 A1BC1M.12 分 1在下列命题中：若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得 pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0B1C2D3答案 A解析 a 与 b 共线，a，b 所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故不正确；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当 a，
18、b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为 pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为 0，故选 A.2(2016郑州模拟)已知 a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若 a，b，c 三向量共面，则 等于()A9B9C3D3答案 B解析 由题意知 cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，2xy7，x2y6，3x3y，解得 9.3已知 a(2,1,3)，b(1,2,1)，若 a(ab)，则实数 的值为()A2B143C.145D2答案 D解析 由题意知 a(ab)0，即 a2ab0，所以 1470，解得 2.4.如图，在大小为 45的二面角
19、AEFD 中，四边形 ABFE，CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是()A.3B.2C1D.3 2答案 D解析 BD BFFEED，|BD|2|BF|2|FE|2|ED|22BFFE2FEED 2BFED111 23 2，故|BD|3 2.5已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb 且 AB2，CD1，则异面直线 a，b 所成的角等于()A30B45C60D90答案 C解析 如图，设ACa，CD b，DB c，则ABabc，所以 cosAB，CD abcb|abc|b|12，所以异面直线 a，b 所成的角等于 60，故选 C.6(2016深圳模拟)
20、正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1 上且AM 12MC1，N 为B1B 的中点，则|MN|为()A.216 aB.66 aC.156 aD.153 a答案 A解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，a2)设 M(x，y，z)，点 M 在 AC1 上且AM 12MC1，(xa，y，z)12(x，ay，az)，x23a，ya3，za3.M(2a3，a3，a3)，|MN|a23a2aa32a2a32 216 a.7A，B，C，D 是空间不共面四点，且ABAC0，ACAD 0，ABAD 0，则BCD 的形状
21、是_三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)答案 锐角解析 因为BCBD(ACAB)(AD AB)ACAD ACABABAD AB 2AB 20，所以CBD 为锐角同理BCD，BDC 均为锐角8设 OABC 是四面体，G1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC，则 x，y，z 的值分别为_答案 14，14，14解析 如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE.OG 34OG1 34(OA AG1)34OA 12AE34OA 14(ABAC)34OA 14(OB OA OC OA)14(OA OB OC)，xyz14.9(2016合肥模拟)已知
22、 a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则 c_.答案(3，2,2)解析 因为 ab，所以 x24y 11，解得 x2，y4，此时 a(2,4,1)，b(2，4，1)，又因为 bc，所以 bc0，即68z0，解得 z2，于是 c(3，2,2)10(2016天津模拟)已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体，(A1A A1D1 A1B1)23A1B1 2；A1C(A1B1 A1A)0；向量AD1 与向量A1B 的夹角是 60；正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为|ABAA1 AD|.其中正确的序号是_答案 解析 中，(A1A A1D1 A1B1)2A1A 2A1
23、D1 2A1B1 23A1B1 2，故正确；中，A1B1 A1AAB1，因为 AB1A1C，故正确；中，两异面直线 A1B 与 AD1 所成的角为 60，但AD1 与A1B的夹角为 120，故不正确；中，|ABAA1 AD|0，故也不正确11.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面 DCC1D1；A1M平面 D1PQB1.以上正确说法的个数为_答案 3解析 A1M A1A AM A1A 12AB，D1P D1D DP A1A 12AB，A1M D1P，A1MD1P
24、，由线面平行的判定定理可知，A1M平面 DCC1D1，A1M平面 D1PQB1.正确12.如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)EFBA；(2)EFDC；(3)EG 的长；(4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值解(1)设ABa，ACb，AD c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，EF12BD 12c12a，BAa，DC bc.EFBA12c12a(a)12a212ac14.(2)EFDC 12(ca)(bc)12(bcabc2ac)14.(3)EG EBBCCG 12aba12c12b1
25、2a12b12c，|EG|214a214b214c212ab12bc12ca12，则|EG|22.(4)AG 12b12c，CECAAEb12a，cosAG，CE AG CE|AG|CE|23，由于异面直线所成角的范围是0，2，所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为23.13.(2016沈阳模拟)如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E 分别为 AB、BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值(1)证明 设CAa，CBb，CC c，根据题意得，|a|b|c|，且 abbcca0，CEb12c，ADc12b12a.CE AD1
26、2c212b20.CE AD，即 CEAD.(2)解 ACac，|AC|2|a|，|CE|52|a|.AC CE(ac)b12c 12c212|a|2，cosAC，CE12|a|22 52|a|2 1010.即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 1010.14.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 a，ABb，AD c，点 M，N 分别是 A1D，B1D1的中点(1)试用 a，b，c 表示MN；(2)求证：MN平面 ABB1A1.(1)解 A1D AD AA1 ca，A1M 12A1D 12(ca)同理，A1N 12(bc)，MN A1N A1M 12(bc)12(ca)12(ba)12a12b.(2)证明 AB1 AA1 ABab，MN 12AB1，即 MNAB1，AB1平面 ABB1A1，MN 平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1.