1、一、选择题1(2012济南模拟)用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：当nk时，等式左端12k2，当nk1时，等式左端12k2.答案：D2如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是()Ap(n)对所有正整数n都成立Bp(n)对所有正偶数n都成立Cp(n)对所有正奇数n都成立Dp(n)对所有自然数n都成立解析：若n2p(n)成立，则n4,6,8，时p(n)成立答案：B3用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值最小应取()A7B8C9 D10解析
2、：可逐个验证，n8成立答案：B4下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)解析：(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何kN*都成立答案：D5若凸n(n4)边形有f(n)条对角线，是凸(n1)边形的对角线条数f(n1)为()Af(n)n2 Bf(n)n1Cf(n)n Df(n)n1解析：由题意知f(n1)f(n)n1，故f(n1)f(n)n1.答案：B二、填空题6在数列an中
3、，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_解析：a1，a2，a3，an.答案：an7(2012徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真解析：n为正奇数，假设n2k1成立后，需证明的应为n2k1时成立答案：2k1三、解答题8用数学归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223
4、242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，nk1时，等式也成立，由(1)(2)得对任意nN*有12223242(1)n1n2(1)n1.9已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，P2(，)直线l的方程为，即2xy1.(2)当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak
5、1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上10已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解：f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设当nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由、知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n.1n1.
