1、专题突破练 21 随机变量及其分布1.(2019 全国卷 2,理 18)11 分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分.当某局打成 1010 平后,每球交换发球权,先多得 2 分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立.在某局双方 1010 平后,甲先发球,两人又打了 X 个球该局比赛结束.(1)求 P(X=2);(2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率.2.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3次,在 A 区每进一球得 2 分,不进球得 0
2、 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是 910 和 13.(1)如果该选手以在 A,B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由;(2)求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率.3.(2019 河北武邑中学调研二,理 18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有 6
3、名男志愿者 A1,A2,A3,A4,A5,A6和 4 名女志愿者 B1,B2,B3,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率.(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 X 的分布列与数学期望 E(X).4.医学上某种还没有完全攻克的疾病,治疗时需要通过药物控制其中的两项指标 H 和 V.现有三种不同配方的药剂,根据分析,A,B,C 三种药剂能控制 H 指标的概率分别为 0.5,0.6,0.75,能控制 V 指标的概率分别是 0.6,0.5,0.4,能否控制 H 指标与能否控制 V 指标之
4、间相互没有影响.(1)求 A,B,C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率;(2)某种药剂能使两项指标 H 和 V 都得到控制就说该药剂有治疗效果.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数 X 的分布列.5.某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度
5、的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.6.2019 年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的 1 000 人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N(,210),近似为这 1 000 人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求 P(50.5Z94
6、).(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:得分不低于 可获赠 2 次随机话费,得分低于 则只有 1 次;每次赠送的随机话费和对应概率如下:赠送话费(单位:元)10 20 概 率 23 13 现有一位市民要参加此次问卷调查,记 X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求 X 的分布列.附:21014.5,若 ZN(,2),则 P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5.7.某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取 100 件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数=14,标准差=2
7、,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为 X,依据以下不等式评判(P 表示对应事件的概率):P(-X+)0.682 6;P(-2X+2)0.954 4;P(-3X+3)0.997 4.评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修;(2)将数据不在(-2,+2)内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取 2 件,次品数记为 Y,求 Y 的分布列与数学期望 E(Y).8.某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子,将此试验重复 n 轮,第 n 轮的点数分别记为 xn,yn
8、,如果点数满足xn6+6,则认为第 n 轮闯关成功,否则进行下一轮投掷,直到闯关成功,游戏结束.(1)求第一轮闯关成功的概率;(2)如果第 i 轮闯关成功所获的奖金数 f(i)=10 00012(单位:元),求某人闯关获得奖金不超过 1 250 元的概率;(3)如果游戏只进行到第四轮,第四轮后不论游戏成功与否,都终止游戏,记进行的轮数为随机变量 x,求x 的分布列和数学期望.参考答案 专题突破练 21 随机变量及其分布1.(1)证明 X=2 就是 1010 平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此 P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=
9、0.5.(2)解 X=4 且甲获胜,就是 1010 平后,两人又打了 4 个球该局比赛结束,且这 4 个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得 1 分,后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.2.解(1)设该选手在 A 区投篮的进球数为 X,则 XB(2,910),故 E(X)=2 910=95,则该选手在 A 区投篮得分的期望为 2 95=185.设该选手在 B 区投篮的进球数为 Y,则 YB(3,13),故E(Y)=3 13=1,则该选手在 B 区投篮得分的期望为 31=3.所以该选手应该选择在 A 区投篮.(2)设“该选手在 A 区投篮
10、得分高于在 B 区投篮得分”为事件 C,“该选手在 A 区投篮得 4 分,且在 B 区投篮得 3 分或 0 分”为事件 D,“该选手在 A 区投篮得 2 分,且在 B 区投篮得 0 分”为事件 E,则事件 C=DE,且事件 D 与事件 E 互斥.P(D)=(910 910)C31 13 (23)2+(23)3=81100 (49+827)=35,P(E)=(C21 910 110)(23)3=18100 827=475,P(C)=P(DE)=35+475=4975,故该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为4975.3.解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1
11、的事件为 M,则 P(M)=C84C105=518.(2)X 的可能取值为:0,1,2,3,4,P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X 的数学期望 E(X)=0 142+1 521+2 1021+3 521+4 142=2.4.解(1)A,B,C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率为 P=0.5(1-0.6)(1-0.75)+
12、(1-0.5)0.6(1-0.75)+(1-0.5)(1-0.6)0.75=0.275.(2)A 有治疗效果的概率为 PA=0.50.6=0.3,B 有治疗效果的概率为 PB=0.60.5=0.3,C 有治疗效果的概率为 PC=0.750.4=0.3,A,B,C 三种药剂有治疗效果的概率均为 0.3,可看成是独立重复试验,即 XB(3,0.3).X 的所有可能取值为 0,1,2,3,P(X=k)=C3 0.3k(1-0.3)3-k,即 P(X=0)=C30 0.30(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=C31 0.3(1-0.3)2=0.441,P(X=2)=C32 0.32(1-0.3
13、)=0.189,P(X=3)=C33 0.33=0.027.故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 5.解(1)设 A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1,故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设 B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故 P(B)=0.1+0.05=0.15.又 P(AB)=P(B),故 P(B|A)=()()=()()=0.150.55=311.因此所求概率为 311.(
14、3)记续保人本年度的保费为 X,则 X 的分布列为 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.6.解(1)E(Z)=350.025+450.15+550.2+650.25+750.225+850.1+950.05=65,=65,=210 14.5,P(50.5Z79.5)0.682 7,P(36Z94)0.954 5,P(79.5Z9
15、4)0.954 5-0.682 72=0.135 9,P(50.5Z94)=P(50.5Z79.5)+P(79.5Z94)0.682 7+0.135 9=0.818 6.(2)P(Z)=P(Z)=12,X 的所有可能取值为 10,20,30,40,P(X=10)=12 23=13,P(X=20)=12 13+12 23 23=718,P(X=30)=12 23 13+12 13 23=29,P(X=40)=12 13 13=118.故 X 的分布列为 X 10 20 30 40 P 13 718 29 118 7.解(1)由题意知,=14,=2,由频率分布直方图得P(-X+)=P(12X0.6
16、82 6,P(-2X+2)=P(10X18)=0.8+(0.04+0.03)2=0.940.954 4,P(-3X+3)=P(8X20)=0.94+(0.015+0.005)2=0.980.997 4,不满足至少两个不等式成立,该生产线需检修.(2)由(1)知 P(-2X+2)=0.94=4750,所以任取 1 件是次品的概率为 0.06=350,所以任取 2 件产品得到的次品数 Y 可能值为 0,1,2,则P(Y=0)=47502=2 2092 500;P(Y=1)=C21 4750 35=1411 250;P(Y=2)=3502=92 500;Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 2 209
17、2 500 1411 250 92 500 E(Y)=0 2 2092 500+1 1411 250+292 500=325.8.解(1)当 y1=6 时,x13612=3,因此 x1=1,2;当 y1=5 时,x13011,因此 x1=1,2;当 y1=4 时,x12410,因此 x1=1,2;当 y1=3 时,x1189=2,因此 x1=1;当 y1=2 时,x1128=32,因此 x1=1;当 y1=1 时,x167,因此 x1无值;所以第一轮闯关成功的概率 P(A)=866=29.(2)令奖金数 f(i)=10 000 12 1 250,则 i3,由(1)知每轮过关的概率为29.某人闯关获得奖金不超过 1 250 元的概率 P(i3)=1-P(i=1)-P(i=2)=1-29-1-29 29=4981.(3)依题意 X 的可能取值为 1,2,3,4.设游戏第 k 轮后终止的概率为 Pk(k=1,2,3,4),P1=29,P2=1-29 29=1481,P3=1-292 29=98729,P4=1-P1-P2-P3=343729.故 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 29 1481 98729 343729 因此,E(X)=1 29+2 1481+3 98729+4 343729=2 080729.