1、课时规范练8函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.(2021山东德州高三月考)下列函数既是偶函数又存在零点的是()A.y=ln xB.y=x2+1C.y=sin xD.y=cos x2.(2021广东肇庆高三二模)已知函数f(x)=sinx(x+1)(x-a)为奇函数,则a=()A.-1B.12C.-12D.13.(2021广东广州高三月考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a,则g(2)=()A.-4B.4C.-8D.84.(2021山东聊城高三期中)已知奇函数f(x)=x3-1,x0,则f(-1)+g(2)=()A.-11B.-7C.7D
2、.115.(多选)(2021辽宁大连高三期中)已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+)上单调递增,且x0I,f(x0)0,则下列函数不符合上述条件的是()A.f(x)=x2+|x|B.f(x)=2x-2-xC.f(x)=log2|x|D.f(x)=x-436.(多选)(2021湖北天门高三一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图像关于直线x=1对称,当x(0,1时,f(x)=-x2+2x,则下列判断正确的是()A.f(x)的值域为(0,1B.f(x)的周期为2C.f(x+1)是偶函数D.f(2 021)=17.(2021浙江金华高三月考)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时
3、,f(x)=a(x+1)-2x,则f(f(3)=.8.(2021河南郑州高三月考)已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,g(x)=1x+1,y=f(x)与y=g(x)的图像交于点(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=.综合提升组9.(2021山西太原高三期中)函数f(x)=ex-2-e2-x的图像()A.关于点(-2,0)对称B.关于直线x=-2对称C.关于点(2,0)对称D.关于直线x=2对称10.(多选)(2021江苏苏州高三月考)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果可能是()A.4
4、和6B.3和1C.2和4D.1和211.(多选)(2021河北唐山高三二模)已知函数f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x+2)=-f(2-x),则下列结论一定正确的是()A.f(x)的图像关于点(-2,0)对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图像关于直线x=-2对称D.f(x+4)为偶函数12.(2021广东佛山高三二模)已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-30的解集为.13.(2021重庆八中高三月考)已知函数f(x)=e|x|-x13+1e|x|+1(xR且x1)的最大值为M,最小值为m,则M+m的值为.创新应用组14.已知函数f(x)的定义域为R
5、,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则()A.f-12=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=015.如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,我们称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列四个函数:f(x)=(x-1)2+5;f(x)=cos 2x-4;f(x)=sin x+cos x;f(x)=ln|x+1|.其中“和谐函数”的个数为.课时规范练8函数的奇偶性与周期性1.D解析:选项A中的函数既不是奇函数,也不是偶函数,不合题意;选项C中的函数是奇函数,不合题意;B项中的函数是偶函数,但不存在零点,故选D.2.D解析:函数的定义域为x|x-1且x
6、a,因为f(x)=sinx(x+1)(x-a)为奇函数,所以定义域关于原点对称,则a=1,所以f(x)=sinx(x+1)(x-1)=sinxx2-1,f(-x)=sin(-x)(-x)2-1=-sinxx2-1=-f(x),满足f(x)为奇函数,故选D.3.C解析:因为f(x)-g(x)=x3+x2+a,所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a,因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(x)+g(x)=-x3+x2+a,-得:2g(x)=-2x3,所以g(x)=-x3,所以g(2)=-23=-8,故选C.4.C解析:f(-1)+g(2)=f(-1)+f(2)=f(-
7、1)-f(-2)=(-1)3-1-(-2)3-1=-2-(-9)=7,故选C.5.ABD解析:xR,f(x)=x2+|x|0,故A不符合题意;函数f(x)=2x-2-x是定义在R上的奇函数,故B不符合题意;函数f(x)=log2|x|是定义在(-,0)(0,+)上的偶函数,且在(0,+)上,f(x)=log2x单调递增,x0=12,f12=-10,故C符合题意;幂函数f(x)=x-43在(0,+)上单调递减,故D不符合题意,故选ABD.6.CD解析:对于A,当x(0,1时,f(x)=-x2+2x,此时0f(x)1,又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且当x-1,0)时,-1f(x
8、)0,故在区间-1,1上,-1f(x)1,A错误;对于B,函数f(x)图像关于直线x=1对称,则有f(2-x)=f(x),又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x)=-f(2+x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是最小正周期T=4的周期函数,B错误;对于C,f(x)的图像关于直线x=1对称,则函数f(x+1)的图像关于y轴对称,f(x+1)是偶函数,C正确;对于D,f(x)是周期T=4的周期函数,则f(2021)=f(1+4505)=f(1)=1,D正确.故选CD.7.11解析:f(0)=a-1=0,a=1.当x0,f(-x)=-x+1-2-x=-f(x
9、),即f(x)=x-1+2-x,故f(x)=x+1-2x,x0,x-1+2-x,x0时,f(x)0,则f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减.又f(1)=2-12=32,由2f(x)-30可得f(x)f(1),所以|x|1,解得-1x1,即不等式的解集是(-1,1).13.2解析:f(x)=e|x|-x13+1e|x|+1=1-x13e|x|+1,函数的定义域为R,设g(x)=x13e|x|+1,函数的定义域为R,g(-x)=(-x)13e|-x|+1=-x13e|x|+1=-g(x),g(x)为奇函数,g(x)max+g(x)min=0.M=f(x)max=1-g(x)min
10、,m=f(x)min=1-g(x)max,M+m=2-g(x)max+g(x)min=2.14.B解析:因为f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,所以f(x)=f(4-x),f(1)=0,f(x)=f(x+4),即f(3)=f(1)=0,f(-1)=f(3)=0.故B正确.设f(x)=cos2x,因为f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,所以f-12=cos-40,f(2)=cos0,f(4)=cos20.故A,C,D错误.15.1解析:中f(x)5,无论正数a取什么值f(0)0,f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;中f(x)=cos2x-2=sin2x,f(x)的图像向左或右平移4个单位后其函数变为偶函数,f(x)的图像向左或右平移2个单位后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;中f(x)=sinx+cosx=2sinx+4,因为fx-4=2sinx是奇函数,fx+4=2cosx是偶函数,故是“和谐函数”;因为f(x)=ln|x+1|,所以只有f(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,只有是“和谐函数”.