1、长安区2021年高三年级第一次模拟试题文科数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4.保持答题卡清洁，不折叠、不破损。5.若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应
2、的题号涂黑。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则=（ ）A. B. 2 C. D. 32.设集合，B=x|2x+a0，且AB=x|2x2，则（ ）A.2 B.-2 C.-4 D.43.“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，h为球冠的高）设球冠底的半径为r,周长为C,球冠的面积为S，则当时，（ ）A. B. C. D.4.已知则（ ）A. B. C
3、. D.5.设抛物线C:的焦点为，准线为是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）A.经过点 B.经过点 C.平行于直线 D.垂直于直线6.将函数（其中0）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是()A B1 C D7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价(元)456789销量(件)908483807568由表中数据,求得线性回归方程=-4x+a,若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方的概率为()A. B. C. D.8.在ABC中，O为中线AM的中点，若AM=2，则等于( )A. B. C.
4、D.9.已知的内角的对边分别为且的面积为则（ ）A. B.5 C.8 D.10.已知点是曲线在点处的切线上一点，则的最小值为（ ）A.4 B.9 C.5 D.1611.已知则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12.已知，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件的最小值是_.14.一个动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为_.15.点P在双曲线的右支上,其左、右焦点分别为,直线与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A,线段的垂直平分线恰好过点,则该双曲线的离心率为_.
5、16.菱形ABCD中，将CBD沿BD折起，C点变为E点，当四面体E-ABD的体积最大时，四面体E-ABD的外接球的面积为_.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.如图，四棱锥中，平面，为上一点，且.（）证明：平面平面；（）求三棱锥的体积18.已知等差数列中，公差，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围19.随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为
6、此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”（1）经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：（为样本容量）0.
7、5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.已知点到的距离与它到直线的距离之比为.（1）求点的轨迹的方程；（2）若是轨迹与轴负半轴的交点，过点的直线与轨迹交于两点，求证：直线的斜率之和为定值21.已知函数.（1）若曲线在点处的切线为，求；（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，试求实数的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22.选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，
8、曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求PQ的最小值23.选修45：不等式选讲（10分）已知函数，.（1）解不等式：；（2）记的最小值为，若实数满足，试证明：长安区2021年高三年级第一次模拟试题文科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案ACBBADCABBDA二、 填空题:13； 14； 15； 16三、解答题：17.解：（）平面平面在直角梯形中， ，又平面，平面，平面平面；（6分）（）由（1）可知平面所以三棱锥的高为（12分
9、）18.解：（1）由题意可得即又因为，所以所以.（4分）（2）， .存在，使得成立.存在，使得成立.即存在，使得成立.（当且仅当时取等号）.，即实数的取值范围是.（12分）19.解：解：（1）设事件A:热烈参与者，为3万人中热烈参与者的人数则所以人（4分）（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200所以热烈参与马拉松”与性别有关。（12分）20.解：（1）设点，由题意可得.化简整理可得 所以点的轨迹的方程为.（4分）（2）由（1）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，故可设l的方程为，由得，而由于直线过点，所以，所以（即为定值）（12分）21.解：（1）函数
10、的导数 ，由题意可得，即.则 ，点坐标为 点在直线上 故 （4分）（2）当时，关于的不等式在上恒成立，设，则 ，由的导数为，可得时，函数递增，时，函数递减，则，即， 当时， ，则在递增，可得，则.（12分）22解：（1）当时，消得该曲线是以A(2,0),B(0,1)为端点的线段。（5分）（2）当k=1时，曲线的普通方程为椭圆：曲线的普通方程为直线：2x-3y-12=0,可知直线与椭圆相离，则的最小值为到直线的距离的最小值，则：当时，有最小值（10分）23.解：（1）易知 因为，所以，或，或所以，或，或，所以，所以不等式的解集为（5分）（2）证明：，当且仅当时取等号.的最小值为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号.（10分）
