1、6.1 不等式的性质及一元二次不等式考点一比较大小与不等式的性质1.(2019泉州模拟)若abc,ac0B.bcacD.b(a-c)02.若a=2 0192 0222 0222 019,b=2 0192 01920222 022,则a_b(用“,bc,ac0,c0,故abac,正确. 2.=1,所以ab.答案:3.m-n=-=0,所以mn.答案:1.用同向不等式求差范围的技巧a-dx-yb-c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.2.比较大小的三种常用方法(1)作差法:直接作差判断正负即可.(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个
2、函数的两个值,根据函数的单调性比较.【秒杀绝招】1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=解题.考点二一元二次不等式的解法【典例】1.(2020盐城模拟)不等式x(2-x)0的解集是()A.(2,+)B.(-,2)C.(0,2)D.(-,0)(2,+)2.若不等式ax2+2x+c1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)0的解集是_.【解题导思】序号联想解题1由不等式想到x的系数变为正数后解不等式2由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数3由不等式想到不等式变
3、形、求根、根的大小写解集【解析】1.选D.因为x(2-x)0,所以x2或x1时,1-a,则关于x的不等式可化为(x-a)0,解得xa,所以不等式的解集为(a,+).答案:(a,+)1.解不含参数的一元二次不等式首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图象写解集;若无根,直接根据图象写解集.2.解含参数的一元二次不等式(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“”或“十字相乘法”求根,若有根,则讨论根的大小后根据图象写解集;若无根,则根据图象写解集.1.(2019西安模拟)不等式a
4、x2+bx+c0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c0的解集为()A.B.C.(1,+)D.(-,-1)【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a0,化为3(x2+1)-(x+3)-40,即3x2-x-40,解得-1x,所以该不等式的解集为.2.已知全集U=R,集合A=x|x2-x-60,B=,那么集合A(UB)等于()A.-2,4)B.(-1,3C.-2,-1D.-1,3【解析】选D.因为A=x|-2x3,B=x|x-1或x4,故UB=x|-1x0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为()A.aB.a或aD.-a0对一切
5、实数x都成立,则,即解得a,所以实数a的取值范围是a.在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图象,列出等价条件求解.给定区间上的恒成立问题【典例】若不等式x2m+4x在0,1上恒成立,则实数m的取值范围是 ()A.m-3或m0B.m-3C.-3m0D.m-3【解析】选D.因为不等式x2m+4x在0,1上恒成立,所以只需m(x2-4x)min,x0,1,令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x0,1,所以f(x)min=f(1)=-3,所以m-3.定区间上的恒成立问题如何解?提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用
6、方法.给定参数范围的恒成立问题【典例】(2020六安模拟)若不等式x2+px4x+p-3,当0p4时恒成立,则x的取值范围是()A.-1,3B.(-,-1C.3,+)D.(-,-1)(3,+)【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+px4x+p-3,得p4x+p-3,得p0,故x=3不符合条件,排除C;方法二:转换变元法:不等式变为p+x2-4x+30,当0p4时恒成立,所以 即 解得x3.比较一下特殊值法和转换变元法在解题中的应用.提示:特殊值法简单快捷,转换变元法思路巧妙,转化求解,体现了函数性质在解不等式中的应用.1.在R上定义运算ab=(a+1)b,若存在x1,2使不等式(m-x)(m+x)4成立,则实数m的取值范围为()A.(-3,2)B.(-1,2)C.(-2,2)D.(1,2)2.已知关于x的不等式x2-x+a-10在R上恒成立,则实数a的取值范围是_.【解析】1.选A.由题意知,不等式(m-x)(m+x)4化为(m-x+1)(m+x)4,即m2+m-4x2-x;设f(x)=x2-x,x1,2,则f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;令m2+m-42,即m2+m-60,解得-3m0.解集为x|x6或x0(不唯一)