1、第3讲三角变换与解三角形 考点1三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)2019全国卷已知，2sin 2cos 21，则sin ()A.B.C. D.(2)2019天津南开大学附属中学月考已知sin ，sin ，且，为锐角，则为()A. B.或C. D.【解析】(1)本题主要考查同角三
2、角函数的基本关系、二倍角公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算由2sin 2cos 21，得4sin cos 12sin21，即2sin cos 1sin2.因为，所以cos ，所以2sin 1sin2，解得sin ，故选B.(2)sin ，sin ，且，为锐角，cos ，cos ，cos()，又0，.故选A.【答案】(1)B(2)A化简三角函数式的规律规律解读一角一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式二名二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”三结构三看“结
3、构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等温馨提醒(1)常用技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换等(2)根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负对接训练12019山东济南长清月考若sin 2，则sin2()A. B.C D解析：通解sin 2，2sinsin 2，2sincos，2sin22sin0，得sin，sin 2cos2sin21.故选C.优解sin 2，sin 2，2(cos sin )sin 2，3sin224sin 240，得sin 2.故选C.答案：C2
4、2019全国高考信息卷若为第二象限角，且sin 2sincos()，则cos的值为()A B.C. D解析：sin 2sincos()，2sin cos cos2，是第二象限角，cos 0,2sin cos ，4sin2cos21sin2，sin2，coscos 2sin 2cos2sin22sin cos sin2 .故选A.答案：A 考点2利用正、余弦定理解三角形1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2RsinA，sinA，a：b：csinA：sinB：sinC等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccosA；变形：b2c2a22bccosA，cos
5、A.3三角形面积公式SABCabsinCbcsinAacsinB.例2(1)2019全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_；(2)2019江西南昌段考在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B等于()A. B.C. D.【解析】(1)本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查方程思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算解法一因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos，得c
6、2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin6.解法二因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.(2)因为asin Bcos Ccsin Bcos Ab，所以由正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，又sin B0，所以sin Acos Ccos Asin C，即sin(AC)，因为ACB，所以sin(B)，即sin B.又ab，所以AB，所以B为锐角，所以B.故选D.【答案】(1)6(2)D(1)正、余弦定理的
7、适用条件“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理(2)三角形面积公式的应用原则对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.对接训练32019广西南宁摸底联考在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，C，sin B2sin A，则ABC的周长是()A3 B2C3 D4解析：因为sin B2sin A，所以由正弦定理得b2a，由余弦定理得c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c
8、，所以a1，b2.故ABC的周长是3.故选C.答案：C42019福建泉州阶段检测已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos AacosB2，则ABC的外接圆面积为()A4 B8C9 D36解析：由余弦定理得ba2，即2，得c2，由cos C得sin C.设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得2R6，得R3，所以ABC的外接圆面积为R29.故选C.答案：C 考点3正、余弦定理的综合应用例32019全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围【解析】本题主要考查正
9、弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算(1)由题设与正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin.又B是三角形内角，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.1注意利用第(1)问中的结果：在题设条件下，如果第(1)问中的结果第(2)问能用得
10、上，可以直接用，有些题目不用第(1)问中的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问中的基础上求解2写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分.对接训练52019湖南长沙调研在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2.(1)若A，b3，求sin C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos23sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的值解析：(1)由余弦定理得a2b2c22bccos A9423
11、27，解得a.由正弦定理，得sin C.(2)由已知得sin Asin B3sin C，sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A6sin C，sin Asin Bsin(AB)6sin C，sin Asin B5sin C，所以由正弦定理得ab5c10，又Sabsin Csin C，所以ab25由得ab5. 考点4与解三角形有关的交汇问题交汇创新解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点例42019石家庄质量检测在ABC中，a，b，c分别是
12、角A，B，C的对边，若ccos Bbcos C2acos A，且AM1，则b2c的最大值是_【解析】通解ccos Bbcos C2acos A，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos A，sin(CB)2sin Acos A，sin A2sin Acos A0A，sin A0，cos A，A.，且AM1，21，c2bcb21，即4c22bcb29.2bc，94c22bcb2(b2c)22bc(b2c)2，b2c2，当且仅当b2c，即时等号成立，b2c的最大值为2.优解ccos Bbcos C2acos A，2acos A，a2acos A，cos A.0A，A.，且AM1，
13、21，c2bcb21，即4c22bcb29.2bc，94c22bcb2(b2c)22bc(b2c)2，b2c2，当且仅当b2c，即时等号成立，b2c的最大值为2.利用解三角形的知识解决平面向量问题是高考在知识的交汇处命制试题的一个热点解决这类试题的基本方法是根据正、余弦定理求出平面向量的模和夹角，从而达到利用解三角形求解平面向量数量积的目的.对接训练6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos Bbcos Acsin C，数列an满足an(n22n)sin(2n1)C，则数列an的前100项和S100_.解析：由acos Bbcos Acsin C得sin A cos Bsin
14、 Bcos Asin2Csin(AB)sin2Csin Csin2C，又0C，sin C0，sin C1，C，an(n22n)sin，即an(n1)21sin，从而S100(221)(321)(421)(521)(10021)(10121)2232425210021012(2345100101)5 150.答案：5 150课时作业8三角变换与解三角形12019河南开封定位考试已知cos，则cos 2的值为()AB.C D.解析：因为cos，所以sin ，则cos 212sin2122.故选B.答案：B22019河北省级示范性高中联合体联考已知tan 2，且mtan 2，则m()A BC. D.
15、解析：依题意，得3，tan 2，所以3m，解得m.故选B.答案：B32019山东青岛一中月考在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解析：sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，cos C0，又0C180，C为钝角，ABC是钝角三角形，故选C.答案：C42019黑龙江牡丹江一中月考满足条件a4，b3，A45的三角形的个数是()A1 B2C无数个 D不存在解析：由正弦定理得sin B，45B60或120B135，均满足AB180，B有两解，满足条件的三角形的个数是2，故选B.答案：B52019宁夏银川月考已知锐角，
16、满足cos ，sin()，则sin 的值为()A. B.C. D.解析：是锐角，是锐角，cos ，sin()，sin ，cos()，sinsin().故选A.答案：A62019广西两校第一次联考已知sin()，sin()，则log()A1 B2C. D2解析：因为sin()，sin()，所以sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，则sin cos ，cos sin ，所以，于是logloglog5511.故选A.答案：A72019云南曲靖月考一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，
17、其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)故选A.答案：A82019河北省级示范性高中联合体联考ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin A2sin C，b5，cos C，则a()A3 B4C6 D8解析：因为3sin A2sin C，由正弦定理得3a2c，设a2k(k0)，则c3k.由余弦定理得cos C，解得k3或k(舍去)，从而a6.故选C.答案：C92019广东仲元中学
18、期中在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为()A. B.C. D解析：cos C，a2b22c2，cos C，当且仅当ab时取等号，cos C的最小值为，故选C.答案：C102019河北五校第二次联考已知tan 2，函数f(x)sin(x)sin(x)2sin ，且对任意的实数x，不等式f(x)0恒成立，则sin的值为()A BC D解析：由tan 2，即，求得tan 或tan 3.又对任意的实数x，f(x)sin(x)sin(x)2sin 2sin (cos x1)0恒成立，所以sin 0，则，所以tan 3，sin ，cos .于是si
19、nsin cos cos sin.故选A.答案：A112019安徽五校联盟第二次质检若是锐角，且cos，则cos_.解析：因为0，所以，又cos，所以sin，则cossin sinsincoscossin.答案：122019陕西咸阳一中月考在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b2，A，则ABC的面积为_解析：由正弦定理得sin B，ba，BA，cos B，sin Csin(AB)，ABC的面积为absin C.答案：132019陕西西安五中综合卷已知tan()，tan ，则tan_.解析：tan tan()，tan.答案：142019湖南重点高中大联考已知a，b，c分别为
20、锐角三角形ABC内角A，B，C的对边，absin Cc2(ab)2，若锐角三角形ABC的面积为4，则c的最小值为_解析：由已知条件及余弦定理，可得absin Ca2b22abcos C(a22abb2)2ab2abcos C，即2cos C2sin C，两边平方，得4(1sin2 C)44sin Csin2 C，因为0C90，所以可得sin C，则cos C.所以ab4，得ab10，所以c2a2b22abcos Ca2b22ab2ababab8，当且仅当ab时取等号，所以c2，即c的最小值为2.答案：2152019江苏宜兴月考已知sin，.(1)求cos ；(2)求f(x)cos 2xsin
21、sin x的最值解析：(1)sin，.cos，cos cos.(2)由(1)得cos ，sin ，f(x)cos 2x2sin x2sin2x2sin x122，当sin x时，f(x)取得最大值，当sin x1时，f(x)取得最小值3.162019辽宁六校协作体期中设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ccosC是acos B与bcos A的等差中项(1)求角C的大小；(2)若c2，求ABC的周长的最大值解析：(1)由题意得acos Bbcos A2ccos C，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，即sin(AB)sin C2sin Cc
22、os C，解得cos C，C是三角形内角，所以C60.(2)方法一由余弦定理得c24a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab(ab)232，得ab4，当且仅当ab时等号成立，故ABC周长的最大值为6.方法二由正弦定理得，故ABC的周长为abc(sin Asin B)2sin Asin(A60)224sin(A30)2.A(0,120)，当A60时，ABC周长的最大值为6.172019湖北武汉部分重点中学第二次联考已知函数f(x)cos2x2sincossin2x.(1)当x时，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f()，求tan2的值解析：(1)依题意，知f(x)cos 2xsin
23、 2x2sin.因为x，所以2x，所以sin1，则12sin2，于是当x时，f(x)min1，f(x)max2.(2)因为f()，所以sin，所以cossinsin，于是tan2.182019福州市质量检测在RtABC中，C90，点D，E分别在边AB，BC上，CD5，CE3，且EDC的面积为3.(1)求边DE的长；(2)若AD3，求sin A的值解析：(1)如图所示，在ECD中，SECDCECDsinDCE35sinDCE3，所以sinDCE，因为0DCE90，所以cosDCE，所以DE2CE2CD22CECDcosDCE92523528，所以DE2.(2)因为ACB90，所以sinACDsin(90DCE)cosDCE，在ADC中，即，所以sin A.