1、辽宁省沈阳市2020届高三数学1月一模考试试题 理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两卷.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效.其他试题用黑色水性笔答在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集
2、合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定直接判断选择.【详解】，：，故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.3.已知复数z满足，且，则（ ）A. 2B. 2iC. D. 【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数概念以及复数乘法列方程，解得结果.【详解】设,则，且，且.故选：C【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数乘法，
3、考查基本分析求解能力，属基础题.4.已知均为单位向量，若夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求数量积，再求模的平方，最后得结果.【详解】故选：D【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（ ）A. 4B. C. -6D. 6【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示直线，结合图象确定最优解，代入得结果.【详解】作可行域如图，则直线过点时取最大值4,故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C.
4、D. 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.【详解】故选：D【点睛】本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.7.垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小
5、，即可选择.【详解】因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以；因为甲的数据没有乙的数据集中，所以.故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题.8.已知a，b为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）若，则 若，则若，则 若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系逐一判断，即可选择.【详解】若，a可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证，； 若，则；若，则；若，则或；故选：B【点睛】本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题.9.新高考的改革方案开始实施
6、后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）A. 丙没有选化学B. 丁没有选化学C. 乙丁可以两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选化学【答案】D【解析】【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论【详解】根据题意可得，甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，乙必定没选化学；又丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； 若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学综上，必定有甲，丙或甲，丁这
7、两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力10.已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点A，B为直线上关于原点对称的不同两点，点M为直线上一点，且，则双曲线C的离心率为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】先求渐近线方程，再设坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率.【详解】渐近线
8、方程为，不妨设则可设因此故选：C【点睛】本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.11.如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】先根据左右平移不改变最值求得，再根据平移规律列等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.【详解】因为左右平移不改变最值，所以因为，向右平移个单位得到，而，所以，即从而故选：A【点睛】本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（ ）A. 20B. 18C. 16D. 14【答案】C【解
9、析】【分析】先解，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数.【详解】或根据函数解析式以及偶函数性质作图象，零点个数为,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.第II卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知椭圆方程为，则其焦距为_.【答案】6【解析】【分析】根据椭圆方程求,即得焦距.【详解】故答案为：【点睛】本题考查根据椭圆方程求焦距，考查基本分析求解能力，属基础
10、题.14.已知等差数列的前n项和为，且，.数列中，.则_.【答案】【解析】【分析】先根据条件解得等差数列公差与首项，即得；再根据解得通项公式，即得，最后求积得结果.【详解】设等差数列公差为，则由，得，因为，所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”
11、、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有_种.【答案】【解析】【分析】先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;因此共有种.故答案：【点睛】本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.16.在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先根据底面AC
12、D面积为定值，确定四面体ABCD的体积最大时，平面,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.【详解】因为，所以底面ACD面积为定值，因此当平面时，四面体ABCD的体积最大.设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且，因此外接球的半径满足从而外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查四面体外接球表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求A及a；（2）若，求BC边上的高.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化
13、简可得a；根据二倍角正弦公式化简可得A；（2）先根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求BC边上的高.【详解】（1）；（2）由余弦定理得,设BC边上的高为.即BC边上的高为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，平面平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且，.点F为AD中点，连接EF.（1）求证：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取AB中点为O，连接OC、OF，证明四边形OCEF为平行四边形，EFOC，然后证明EF平面ABC；（2）以O为坐标原点
14、，分别以、的方向为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系不妨令正三角形ABC的边长为2，求出相关的的坐标，求出平面AEC的法向量，平面AED的法向量，利用空间向量的公式求解即可【详解】（1）证明：取AB中点为O，连接OC、OF，O、F分别为AB、AD中点，OFBD且BD2OF，又CEBD且BD2CE，CEOF且CEOF，四边形OCEF为平行四边形，EFOC，又OC平面ABC且EF平面ABC，EF平面ABC（2）三角形ABC为等边三角形，O为AB中点，OCAB，平面ABC平面ABD且平面ABC平面ABDAB，又BDAB且BD平面ABD，BD平面ABC，又OFBD，OF平面ABC，以O为坐标原点，
15、分别以、的方向为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系不妨令正三角形ABC的边长为2，则O（0，0，0），A（1，0，0），D（1，0，2），设平面AEC的法向量为，则，不妨令，则，设平面AED的法向量为，同理求得，又二面角CAED为钝二面角，所求二面角CAED的余弦值为【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属于中档题.19.已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为
16、，的面积记为，求证：为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据条件解得B点坐标，代入抛物线方程解得，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得与，最后代入化简得结果.【详解】（1）设因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以因此，同理可得因此【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20.在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，
17、并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p
18、（x）.【答案】（1）（2）x的取值为2或4, .【解析】【分析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球
19、甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先求导数，再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性；（2）根据函数单调性确定零点个数，并用零点存在定理加以论证.【详解】（1）当时，即在上单调递增；当时，即在上单调
20、递增；当时，时，即在和上单调递增；时，即在上单调递减；综上：当时， 在上单调递增；当时， 和上单调递增；在上单调递减；（2）因为单调函数至多一个零点，所以，因为所以因为而在和上单调递增；在上单调递减；所以在上有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点（即1），在上有且仅有一个零点，所以当时，函数有三个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属较难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，
21、直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l的参数方程为普通方程（2）先化直线l的参数方程为标准式，再代入曲线C方程，最后根据参数几何意义求解【详解】（1）（2）代入得【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果；（2）先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果.【详解】（1）或或或或 即不等式的解集为.（2）点睛】本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
