1、第11讲导数与函数的单调性, 学生用书P49)函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数辨明导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或0(或0时，1x2；f(x)0时，x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()C解析 根据信息知，函数f(x)在(1，2)上是增函数在(，1)，(2，)上是减函数，故选C.2. 函数f(x)x33x1的单调增区间是()A(1，1)B(，1)C(1，) D(，1)，(1，)D解析 f(x)3x23.由f(x)0得，x1.
2、故单调增区间为(，1)，(1，)，故选D.3. 函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减 B先减后增C增函数 D减函数D解析 因为f(x)sin x10.所以f(x)在(0，)上是减函数，故选D.4. 函数f(x)sin xkx在(0，)上是增函数，则实数k的取值范围为_解析 因为f(x)cos xk0，所以kcos x，x(0，)恒成立当x(0，)时，1cos x0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则由f(x)0得x，且当x(0，)时，f(x)0，当x时，f(x)0.讨论f(x)的单调性解 由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1.设g(x)x2ax
3、2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0，即0a0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10；当x(，)时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，) 已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调区间解 (1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(
4、1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x1时，g(x)0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0，故g(x)为减函数；当x0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)的单调递减区间为(，4)，(1，0)，单调递增区间为(4，1)，(0，)函数单调性的应用(高频考点)学生用书P51利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现高考对函数单调性的考查主要有以下两个命题角度：(1)已知函数单调性求参数的取值范围；(2)比
5、较大小或解不等式典例引领(1)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，) D1，)(2)(2017兰州市诊断考试)定义在R上的函数f(x)的导函数是f(x)，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(e为自然对数的底数)、bf()、cf(log28)，则a、b、c的大小关系为_(用“”连接)【解析】(1)由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00，f(x)在(，1)上单调递增；f(x)在(1，)上时，f(x)0时，因为11，所以f(x)在(，1)和(1，)上
6、单调递增，在(1，1)上单调递减；当a0时，因为10，a0，a0三种情况讨论已知函数f(x)aln xx2(1a)x.求函数f(x)的单调区间解 f(x)x(1a).当a0时，若0x1，则f(x)1，则f(x)0，故此时函数f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，)；当0a1时，同0a0，解得x1，故选D.2已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()D解析 当x0时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增只有D选项符合题意3若
7、函数f(x)x3tx23x在区间1，4上单调递减，则实数t的取值范围是()A(， B(，3C，) D3，)C解析 f(x)3x22tx3，由于f(x)在区间1，4上单调递减，则有f(x)0在1，4上恒成立，即3x22tx30在1，4上恒成立，则t(x)在1，4上恒成立，因为y(x)在1，4上单调递增，所以t(4)，故选C.4已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)A解析 因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又x时，得f(x)sin x
8、xcos x0，所以此时函数是增函数所以ff(1)f(1)f，故选A.5(2017郑州第一次质量预测) 已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)f(5)1，f(x)为f(x)的导函数，且导函数yf(x)的图象如图所示，则不等式f(x)1的解集是()A(3，0) B(3，5)C(0，5) D(，3)(5，)B解析 依题意得，当x0时，f(x)0，f(x)是增函数；当x0时，f(x)0，f(x)是减函数又f(3)f(5)1，因此不等式f(x)0，yx，令0，所以x210，解得0x1，即函数yx2ln x的单调递减区间为(0，1)答案 (0，1)8若函数f(x)x3x2ax4恰在1，4上单调递减，则
9、实数a的值为_解析 因为f(x)x3x2ax4，所以f(x)x23xa，又函数f(x)恰在1，4上单调递减，所以1，4是f(x)0的两根，所以a(1)44.答案 49(2017石家庄二中开学考试)已知函数f(x)ln x2x，若f(x22)0，函数单调递增，所以由f(x22)f(3x)得x223x，所以1x0，解得a3，所以实数a的取值范围是(3，0)(0，)答案 (3，0)(0，)11设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间解 (1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(
10、xa)当a0时，f(x)x20恒成立，即函数f(x)在(，)内为单调增函数当a0时，由f(x)0得，xa或x0；由f(x)0得0xa.即函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)当a0得，x0或xa；由f(x)0得，ax0)设g(x)x3x2x1，则g(x)3x22x1(3x1)(x1)令g(x)(3x1)(x1)0，得x.令g(x)(3x1)(x1)0，得0x0.所以g(x)在(0，)上恒大于零于是，当x(0，)时，f(x)ex0恒成立所以当a1时，函数f(x)在(0，)上为增函数13已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2
11、时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由解 (1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对任意xR都成立所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对任意xR都成立，即x2(a2)xaex0对任意xR都成立因为ex0，所以x2(a2)xa0对任意xR都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知函数f(x)不是R上的单调函数
