1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲导数在研究函数中的应用基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内_；(2)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内_；(3)若f(x)0，
2、则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0，单调递增单调递减基础诊断考点突破课堂总结如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_；如果在x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程_的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_.极大值f(x)0极大值极小值基础诊断考点突破课堂总结3.函数的最值与导数(1)函数f(
3、x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(a)，f(b)基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增的充要条件是f(x)0.()(2)函数的极大值一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最
4、大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()基础诊断考点突破课堂总结2.(人教A选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A基础诊断考点突破课堂总结3.(2014新课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，)D.1，)答案D基础诊断考点突破课堂总结4.函数y2x32x2在区间1，2上的最大值是_.答案 8基础诊断考点突破课堂总结答案(0，1)基础诊断考点突破课堂总结
5、考点一 利用导数研究函数的单调性基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用导数研究函数的极值【例2】已知函数f(x)xaln x(aR).(1)当
6、a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同，应注意，导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题，应注意分类讨论.基础诊断考点突破课堂总结【训
7、练2】已知函数f(x)ax1ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用导数求函数的最值【例3】已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围.(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0，1上的最大值和最小值.解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意对于任意x0，1，有f(x)0
8、.基础诊断考点突破课堂总结当a0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对于任意x0，1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x0，1，f(x)xex0，且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件；当a0时，因f(0)a0，f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.基础诊断考点突破课堂总结(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，()当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于
9、任意x0，1有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】已知函数f(x)xln x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数g(x)在区间1，e上的最小值(其中e
10、为自然对数的底数).基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结思想方法1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论，一个函数在其定义域最值是唯一的，可以在区间的端点取得.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1.注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点.3.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.