1、课后提升练3高考情境题的数学建模一、选择题1.(2022河南郑州二模)在北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺,立春的日影长为15.5尺,则春分的日影长为()A.9.5尺B.10.5尺C.11.5尺D.12.5尺2.(2022陕西榆林三模)航天技术中经常用到的齐奥尔科夫斯基公式为vf=v0+ln,其中m0,mk分别为在燃料燃烧前与燃烧后的火箭质量,是燃料喷出的速度,v0是火箭的初速度,vf是燃料完全燃尽时火箭的速度.现准备发射一枚二级火箭(初速度
2、v0=0),每级火箭的箭体结构的质量均为50吨,每级火箭携带燃料的质量均为250吨,燃料喷出的速度为3 000 m/s,先点燃第一级火箭燃料,燃料燃尽后,第一级火箭自动脱离,同时点燃第二级火箭的燃料,则当第二级火箭的燃料燃尽时,火箭的速度约为(参考数据:ln 31.10,ln 20.69)()A.6 940 m/sB.7 440 m/sC.7 840 m/sD.8 670 m/s3.(2022北京房山一模)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为v=log3,其中Q表示鲑鱼的耗氧量,则鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为(
3、)A.2 600B.2 700C.2D.274.2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上把20 200 202这样的对称数叫回文数,两位数的回文数共有9个(11,22,99),则在三位数的回文数中,出现偶数的概率为()A.B.C.D.5.十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间0,1均分为三段,去掉中间的区间段,记为第一次操作;再将剩下的两个区间0,1分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;,如此这样,每次在上
4、一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于,则需要操作的次数n的最小值为()(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)A.4B.5C.6D.76.(2022陕西金台一模)在某场运动会的颁奖礼上,某国旗缓缓升起,在坡角为15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30,第一排和最后一排的距离为9米(如图所示),则旗杆的高度为()A.27米B.9米C.9米D.9米7.(2022全国高三专题练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,
5、他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A-,0和点B0,点M为圆O上的动点,则2|MA|-|MB|的最大值为()A.B.C.D.8.筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理,如图所示,已知筒车的半径为4 m,筒车转轮的中心O到水面的距离为2 m,筒车沿逆时针方向以角速度(0)转动,规定:盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间,且以筒车转轮的中心O为坐
6、标原点,过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,设盛水筒M从点P0运动到点P时经过的时间为t(单位:s),且此时点P距离水面的高度为h(单位:m),筒车经过6 s第一次到达最高点,则下列叙述正确的是()A.当t=16 s时,点P与点P0重合B.当t51,65)时,h一直在增大C.当t(0,50)时,盛水筒有5次经过水平面D.当t=50 s时,点P在最低点二、填空题9.如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,记圆柱的体积和表面积分别为V1,S1,球的体积和表面积分别为V2,S2,则=.10.(2022北京朝阳一模)某地进行老旧小区改造,有半径为60 m,圆心角为的一
7、块扇形空置地(如图),现欲从中规划出一块三角形绿地PQR,其中P在上,PQAB,垂足为Q,PRAC,垂足为R,设PAB=0,则当P在上运动时,这块三角形绿地的最大面积是.课后提升练3高考情境题的数学建模1.D解析: 设从冬至到芒种这十二个节气的日影长构成等差数列an,公差为d,由题意冬至的日影长为a1=18.5,立春的日影长a4=15.5,则a4-a1=3d=15.5-18.5=-3,所以d=-1.则春分的日影长a7=a1+6d=18.5-6=12.5.2.B解析: 当第一级火箭的燃料燃尽时,火箭的速度v1=0+3 000ln=3 000ln 2,当第二级火箭的燃料燃尽时,火箭的速度v2=v1
8、+3 000ln=3 000(2ln 2+ln 3)7 440,故选B.3.D解析: 由log3=0,得=1,Q=100;由log3=1.5,得=33=27,Q=2 700.故鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为=27.4.B解析: 3位回文数的特点是百位和个位数字相同且不能为0,十位数字可以为从0到9的任意一个数,当百位和个位数字同时为1,2,3,9时,各有10个回文数,共90个回文数.若三位数的回文数是偶数,则末(首)位可能为2,4,6,8.如果末(首)位为2,中间一位数有10种可能,同理可得,如果末(首)位为4或6或8,中间一位数均有10种可能,所以三位数的回
9、文数是偶数,有410=40个,所以在三位数的回文数中,出现偶数的概率为P=.5.C解析: 第一次操作去掉的区间长度为,第二次操作去掉两个长度为的区间,长度和为,第三次操作去掉四个长度为的区间,长度和为,第n次操作去掉2n-1个长度为的区间,长度和为,Sn=+=1-n,即n,n(lg 2-lg 3)1,解得n5.679,所以最小值为6.6.A解析: 依题意可知AEC=45,CAE=180-60-15=105,ACE=180-45-105=30,由正弦定理可知,AC=sinAEC=18(米),在RtABC中,BC=ACsinCAB=18=27(米).7.B解析: 设M(x,y),令2|MA|=|M
10、C|,则,由题知圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且=,设点C(m,n),则,整理得x2+y2+x+y=,比较两方程可得=0,=0,=1,即m=-2,n=0,点C(-2,0).如图所示,设直线BC与圆O的交点分别为M1,M2,当点M位于点M1时,2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|的值最大,最大为|BC|=.故选B.8.C解析: 设P0Ox=-0,依题意sin =-.又-0,=-,又xOP=t-,圆O的半径为4,点P的纵坐标y与时间t满足y=4sint-,当t=6时,6-,解得=,y=4sint-,故h=4sint-+2.该函数最小正周期为=18,当t=18 s时,点P与点P0
11、重合,故A错误;令2k-t-2k+(kZ),解得18k-3t18k+6(kZ),当k=3时,51t60,当t51,65)时,h不会一直增大,B错误;令h=4sint-+2=0,即sint-=-,所以t-=2k-(kZ)或t-=2k+(kZ),解得t=18k或t=18k+12(kZ).又t(0,50),所以t可以取的值为12,18,30,36,48,此时盛水筒有5次经过水平面,选项C正确;当t=50时,h=4sin50-+2=4sin+2-2,D错误.故选C.9.1解析: 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,所以V1=R22R=2R3,V2=R3,S1=2R2R+2R2=6R2,S2=4R2,故=1.故答案为1.10.225 m2解析: 在RtPAQ中,AP=60,PQ=APsin =60sin ,在RtPAR中,PR=60sin-,SPRQ=PRPQsin=1 800sin-sin =900sin-sin ,sin-sin =sin cos -sin2=sin 2-1-cos 2=sin2+-,所以SPRQ=900sin-sin 900=225.
