1、第一章计数原理 测试题（时间：120分钟 满分：150分）学号：_ 班级：_ 姓名：_ 得分：_ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A种B种C种D种2. 中第的二项式系数是 （ ）A B C D3. 在的展开式中系数最大的项是 （ ）A B C和 D4. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A种B种C种D种5. 若展开式中含的项的系数等于含的项的系数的8倍，则等于（）A5B7C9D116. 将数字拼成一列，记第个数为，若，则不同的排列方法种数为（ ）ABCD7. 若
2、，则的值为 （ ）A.B.C. D.8. 下列问题中，答案为的种数是（）A男女排成一行，同性都不相邻的排法数B男女排成一行，女性都不相邻的排法数C男女分六个兴趣不同的小组，每组一男一女的分组种数D男女排成前后两排的排法数9. 的展开式中的系数是（ ）A B. C. D.10. 某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A种B种C种D种11某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠
3、卡”的个数为ABCD12. 名同学报考三所院校，如果每一所院校至少有人报考，则不同的报考方法共有（）A种B种 C种D种二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 若的二项展开式中的系数为则14. 有张都标着字母，张分别标着数字的卡片，若任取其中张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 （用数字作答）15. 有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲乙两人不住同一房间，且每个房间最多住二人，则不同的住宿安排有 种（用数字作答）16. 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为 。 17. 现安排甲、乙、丙、丁、戌名同学参加一次博览会的志愿者服务活动，每
4、人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 .18. 展开式中项的系数是 .三、解答题（本大题共6小题，共60分）19. （8分）解关于的方程：（1）；（2）20. （8分）解答下列问题：（1）求值；（2）已知，求21.（10分）设展开式中，第二项与第四项的系数之比为，试求含的项22. （10分）某大医院有内科医生名，外科医生名，现要选派人参加国际红十字会组织的志愿者活动（1）某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有几种选法？（2）至少有1名内科医生和至少有1名外科医生参加，有几种选法？2
5、3. （12分）求证：能被整除24. （12分）3名男生和3名女生共6名同学站成一排，若男生甲不站两端，名女生中有且只有两名女生相邻，求不同排法的种数参考答案一、选择题1. D 2. C 3. A 4. A 5.A 6. B 7. C 8. C 9. C 10. B 11C 12. B二、填空题13. 14.12840 15.72 16. 7 17.126 18.-48三、解答题19.解：（1）根据排列数公式， ，从而， 即，即，化简得，解得，或 （舍），故方程的解是，（2），化简得 ， 解得，或 （舍），故方程的解是 20. 解：（1），当时，原式；当时，原式（2）的取值范围为，由已知，即，
6、解得（舍）或，21.解：展开式的第二项与第四项分别为，依题意得解此方程舍去不合题意的负值，得设展开式中项为第项，则由，得，即展开式中项为22. 解：（1）某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，只须从剩下的名医生中选名即可，故有种（2）至少有名内科医生和至少有名外科医生参加的选法可分为类：名内科、名外科医生；名内科、名外科医生；名内科、名外科医生；名内科、名外科医生因此，共有种或者间接法23.证明： ，都是自然数，所以上式各项均为的倍数，即能被整除24.解：有且仅有两名女生相邻可以把这两名女生“捆绑”，把三名女生当作两个元素，在男生隔开的四个空隙中安排这两个元素，最后再减去甲站在两端的情况名男生的全排列数是，隔开四个空隙，把名女生中的名“捆绑”有方法数，将名女生当两个看，安插在四个空隙中的两个有方法数，故“名同学站成一排，名女生中有且只有两名女生相邻的排法”有种；其中男生甲站两端的男生排法种数是，此时只能在甲的一侧的三个空隙中安插经过“捆绑”处理后的三个女生，有方法数，故“位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲站两端，位女生中有且只有两位女生相邻的”的排法有种符合条件的排法故共有种.