1、第六节二元一次不等式(组)与线性规划学习要求:1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.2.会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题,并能解决.1.二元一次不等式表示的平面区域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊
2、点(x0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0或Ax+By+C0,C0),有:(1)当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;(2)当B(Ax+By+C)0(A0,B0)表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的右上方.()(2)使目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(3)在目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()(4)在目标函数z=y+2x+1中,z的几何意义是过点(1,2)和(x,y)的直线的斜率.()(5)在目标函数z=(x-1)2+(y-2)2中,z的几何意义是点(1,
3、2)到点(x,y)的距离.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.不等式x-2y+60表示的区域在直线x-2y+6=0的()A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方答案C画出x-2y+60的图象如图中阴影部分所示,可知该区域在直线x-2y+6=0的左上方.故选C.3.不等式组x0,x+3y4,3x+y4所表示的平面区域的面积为.答案434.已知实数x,y满足不等式组x-y+20,x+y-40,2x-y-50,目标函数z=y-ax(aR).若z取最大值时的唯一解是(1,3),则实数a的取值范围是.答案(1,+)二元一次不等式(组)表示的平面区域角度一平面区域的面积问题典例1(1)不等式组2x+
4、y-60,x+y-30,y2表示的平面区域的面积为()A.4B.1C.5D.无穷大(2) 不等式组(x-y+5)(x+y)0,0x3表示的平面区域的面积是()A.12B.24C.36D.48答案(1)B(2)B解析(1)不等式组2x+y-60,x+y-30,y2表示的平面区域如图所示(阴影部分),ABC的面积即为所求.易得A(1,2),B(2,2),C(3,0),则ABC的面积S=12(2-1)2=1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分):所求面积=(5+11)32=24.选B.角度二平面区域的形状问题典例2(1)若不等式组x-y0,2x+y2,y0,x+ya表示的平面区域是一个三
5、角形,则a的取值范围是.(2)已知约束条件x1,x+y-40kx-y0,表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为.答案(1)(0,143,+(2)1解析(1)不等式组x-y0,2x+y2,y0表示的平面区域如图中阴影部分所示.解y=x,2x+y=2得A23,23;解y=0,2x+y=2得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是00,则必有BCAB.因为直线x+y-4=0的斜率为-1,所以直线kx-y=0的斜率为1,即k=1.规律总结1.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)直线定界,特殊点定域.即先作直线,再取特殊点并代入不等式(
6、组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域;(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.2.求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,则应利用题目中的已知条件转化为不等式组问题,从而作出平面区域;(2)对平面区域进行分析,若为三角形,则应确定底与高.若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),则利用面积公式直接求解.若为不规则图形,则分割成几个规则图形分别求解再求和即可.1.不等式组x-y+50,y2,0x2所表示的平面区域的面积为.答案8解析如图,不等
7、式组表示的平面区域为直角梯形(阴影部分),易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5),所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域的面积S=12(3+5)2=8.2.若不等式组x+y-20,x+2y-20,x-y+2m0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为.答案1解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知图中A点纵坐标yA=1+m,B点纵坐标yB=2m+23,C点横坐标xC=-2m,所以SABD=SACD-SBCD=12(2+2m)(1+m)-12(2+2m)2m+23=(m+1)23=43,所以m=1或m=-3,因为当m=-3时,不满足题意,应舍去,所
8、以m=1.3.不等式|x-2|+|y-2|2所表示的平面区域的面积是,周长是.答案8;82解析原不等式等价于y-x+6,x2,y2,yx-2,x2,y2,yx+2,x2,y2,y-x+2,x2,y2,画出不等式组表示的平面区域如图中正方形ABCD的内部及边界,正方形的边长为22,故面积为2222=8,周长为422=82.求线性目标函数的最值(范围)角度一求线性目标函数的最值(范围)典例3(2020课标全国,13,5分)若x,y满足约束条件2x+y-20,x-y-10,y+10,则z=x+7y的最大值为.答案1解析作出可行域如图,由z=x+7y得y=-x7+z7,易知当直线y=-x7+z7经过点
9、A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1+70=1.角度二求非线性目标函数的最值(范围)典例4设x,y满足条件x-y+50,x+y0,x3.(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;(2)求v=yx-5的最大值与最小值;(3)求z=|2x+y+4|的最大值与最小值.解析画出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示(包含边界).(1)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且同一圆上的点,x2+y2的值都相同,由图象可知,当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,过点(0,0)时,u最小,又C(3,8),所以umax=73,umin=0.(2)v=yx-5表示可行域内的点P(
10、x,y)与定点D(5,0)连线的斜率,由图象可知,kBD最大,kCD最小.因为C(3,8),B(3,-3),所以vmax=-33-5=32,vmin=83-5=-4.(3)因为z=|2x+y+4|=5|2x+y+4|5表示可行域内的点P(x,y)到直线2x+y+4=0的距离的5倍,由图象知点A到直线2x+y+4=0的距离最小,点C到直线2x+y+4=0的距离最大.又因为A-52,52,C(3,8),所以当x=-52,y=52时,zmin=52-52+52+45=32.当x=3,y=8时,zmax=5|23+8+4|5=18.角度三含参的线性规划问题典例5(1)已知x,y满足约束条件x-y+40
11、,x2,x+y+k0,且z=x+3y的最小值为2,则常数k=.(2)若x,y满足约束条件x+y1,x-y-1,2x-y2,且目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是.答案(1)-2(2)(-4,2)解析(1)x-y+40,x2,x+y+k0所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界),由z=x+3y得y=-13x+z3,结合图形可知,当直线y=-13x+z3过点A时,z最小,由x=2,x+y+k=0,解得A(2,-2-k),此时zmin=2+3(-2-k)=2,解得k=-2.(2)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,直线z=ax+2y的斜率k=-a2,
12、从图中可看出,当-1-a22,即-4a0时,直线y=-x+za与直线x+y-2=0重合,此时a=1;当a3B.(x,y),x+2y5C.(x,y),y+2x-13D.(x,y),y+2x-15答案BD不等式组2x-y0,y12x,x+y-30表示的平面区域如图所示,其中A(2,1),B(1,2),设z1=x+2y,则y=-x2+z12,z1的几何意义为直线y=-x2+z12在y轴上的截距的2倍,由图可得,当直线y=-x2+z12过点B(1,2)时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最大,为5,即x+2y5,当直线y=-x2+z12过原点时,直线z1=x+2y在y轴上的截距最小,为0,即x+2y0
13、,故A错误,B正确;设z2=y+2x-1,则z2的几何意义为点(x,y)与点(1,-2)连线的斜率,由图可得,z2最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确.故选D.10.(2020广东佛山二中高三月考)已知点(x,y)满足x-y3,4x-y6,x+2y6,则yx的取值范围为.答案-2,1解析作出不等式组对应的平面区域如图所示,yx的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率,由图象知直线OA的斜率最小,直线OC的斜率最大,由x+2y=6,4x-y=6,可得C(2,2),此时直线OC的斜率kOC=1.由x-y=3,4x-y=6,可得A(1,-2),此时直线OA的斜率kOA=-2,则yx的取值范
14、围为-2,1.B组能力拔高11.若x,y满足x+y1,mx-y0,3x-2y+20,且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值为()A.13B.23C.1D.2答案D由选项得m0,作出不等式组x+y1,mx-y0,3x-2y+20(m0)表示的平面区域,如图中阴影部分(包括边界)所示.因为z=3x-y,所以y=3x-z,当直线y=3x-z经过点A时,直线在y轴上的截距-z最小,此时目标函数z取得最大值,为2.由3x-2y+2=0,3x-y=2得A(2,4),代入直线mx-y=0得2m-4=0,解得m=2.12.(2020四川成都高三第二次诊断)已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径
15、,点M(x,y)的坐标满足不等式组x-y+10,2x+y+30,y1,则MEMF的取值范围为()A.92,13B.4,13C.4,12D.72,12答案D作出可行域如图中阴影部分所示,设圆心为T(1,-1),则MEMF=(MT+TE)(MT+TF)=(MT+TE)(MT-TE)=MT2-TE2=MT2-1,过点T作直线x-y+1=0的垂线,垂足为B,显然|TB|MT|TA|,又易得A(-2,1),所以|TA|=1-(-2)2+(-1-1)2=13,|TB|=|1-(-1)+1|12+(-1)2=322,故MEMF=MT2-172,12.故选D.13.(2020甘肃白银靖远高三第一次联考)若实数
16、x,y满足约束条件3x-y-20,x+y-20,x+4y+40,则z=x+2y的最大值为.答案3解析作出可行域(如图中阴影部分),易知当直线经过点A时,z取得最大值,联立3x-y-2=0,x+y-2=0,可求得点A(1,1),则zmax=1+21=3.C组思维拓展14.(2020广东实验中学高三线上考试)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OAOB=2,则点集P|OP=OA+OB,|+|1,R所表示的区域的面积是()A.22B.23C.42D.43答案D由|OA|=|OB|=OAOB=2知,cos=OAOBOAOB=222=12,=3.不妨设OA=(2,0),
17、OB=(1,3),OP=(x,y),则x=2+,y=3,解得=y3,=12x-y3,由|+|1得|3x-y|+|2y|23.作出可行域,如图所示.则所求面积S=21243=43.15.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和最大为元.答案216 000解析设生产产品A为x件,生产产品B为y件,利润之和为z元,则z=2 100x+900y.根据题意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yN,作出可行域,如图中阴影部分中的整点所示,由10x+3y=900,5x+3y=600得x=60,y=100.当直线2 100x+900y-z=0过点C(60,100)时,z取得最大值,为2 10060+900100=216 000.故利润之和最大为216 000元.
