1、2021年黑龙江省普通高中学业水平考试数学学科试卷一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共60分）.1. 直线在轴上的截距是（ ）A. B. C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】求出直线与轴交点的横坐标即可.【详解】当时，代入可得：.故选：B【点睛】本题考查直线在坐标轴上截距的概念，考查基本运算求解能力.2. 已知直线与直线平行，则实数（ ）A. B. 3C. 5D. 或3【答案】A【解析】【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当时，显然不符合题意，所以，由得，由得，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.3. 椭
2、圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F1（-8，0），F2（8，0），可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a，b，c的关系解得b=6椭圆方程是,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.4. 平行于直线且过点的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【
3、答案】D【解析】【分析】根据平行线斜率的性质，结合代入法进行求解即可.【详解】与直线平行的直线可设为：，直线过点，所以有，故选：D5. x轴上任一点到定点 、 距离之和最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出(0,2 )关于x轴的对称点，连接对称点与( 1, 1 )，即可求出距离之和的最小值.【详解】x轴上任一点到定点(0, 2)、( 1,1)距离之和最小值，就是求解(0,2 )关于x轴的对称点，连接对称点与( 1, 1 )的距离即可，因为(0, 2)关于x轴的对称点为，所以即x轴上任一点到定点(0,2)、( 1, 1 )距离之和最小值是.故选：C6. 已知点A(x
4、,5)关于点(1，y)的对称点(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )A. 4B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为点关于点对称，所以有，解得所以点到原点的距离为，故选D7. 已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】由于方程表示的曲线为圆，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.8. 若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】
5、因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4） 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 9. 两圆和的位置关系是A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离【答案】B【解析】【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关
6、系，即可得到结果.【详解】由圆的圆心为，半径为1，圆圆心为半径为3，所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10. 双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由方程确定，求出后得离心率，列不等式可得范围【详解】由题意双曲线的离心率为，故选：C11. 已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】
7、【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得【详解】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，当且仅当三点共线即到重合时等号成立故选：B 12. 在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】B【解析】【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为ykxb，即kxyb0，所以，解之得k0或，所以所求直线方程为y3或4x3y50，所以符合题意的直线有两条，选B.二、填空题：（每小题5分，共20分）.13. 若与直线垂直，那么_【答案】【解析】【详解】由两条直线垂直知，得14. 已知A，B（5，1），则以线段AB为直径圆的方
8、程的一般式为_【答案】【解析】【详解】试题分析：以AB为直径的圆的圆心为AB的中点，坐标为（1，2），半径为，所以圆的标准方程为：，转化为普通方程为考点：考查了圆的一般方程点评：解本题的关键是根据圆心坐标和半径先求出标准方程，再转化为圆的一般方程15. 已知点在直线上，则的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解.【详解】可以理解为点到点的距离，又点在直线上，的最小值等于点到直线的距离，且.故答案为：【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.16. 已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_【答案】或【解析】【分析】利用点到直线的距离求解.【详解】
9、因为点，到直线的距离相等，所以， 解得或，故答案为：或三、解答题（共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（1，5）、B（2，1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点坐标，由两点间距离公式计算可得【小问1详解】由两点式写方程得，即.或直线的斜率为，直线的方程为，即【小问2详解】设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，18. （1）求焦点的坐标分别为，且过点
10、的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意椭圆的焦点在轴上，且，结合即得解；（2）设椭圆的方程为，待定系数即得解【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为由椭圆定义，故故椭圆的标准方程为：（2）不妨设椭圆的方程为：经过两点、故，解得即故椭圆的标准方程为：19. 已知圆和直线，点P是圆C上的动点.（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）求点P到直线的距离的最小值.【答案】（1）圆心坐标，半径为；（2）【解析】【分析】（1）将圆化为标准方程：，即可求解. （2）求出圆心到直线的距离，减去半径即可.【详解】（
11、1）由圆，化为，所以圆C的圆心坐标，半径为. （2）由直线，所以圆心到直线的距离，所以点P到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查了圆的标准方程、写出圆的圆心与半径、点到直线的距离公式，属于基础题.20. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点分别为，且经过点；（2）经过点，；【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，代入点坐标，结合，即得解；（2）设双曲线的方程为，代入点坐标，待定系数即得解【小问1详解】由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程则解得：所以所求双曲线的标准方程为【小问2详解】设双曲线的方程为：代入点坐标得到：解得： 故双曲线的标准方程为：21. 已知抛物线
12、的准线方程为.（1）求p的值；（2）直线交抛物线于A，B两点，求弦长.【答案】（1）2 （2）8【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程直接求出即可；（2）设，联立方程，利用韦达定理求得，再根据弦长公式即可得解.【小问1详解】解：因为抛物线的准线方程为，所以，所以；【小问2详解】解：设，由，消去，得，则，所以.22. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点（）求该椭圆的标准方程；（）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值【答案】（）（）【解析】【详解】（）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴又椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为 （）当直线垂直于轴时，因此的面积当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，解得B（,），C（,），则，又点A到直线的距离，ABC的面积于由，得，其中当时，等号成立的最大值是