1、河南省新乡市第一中学2021届高三数学一轮复习模拟考试试题（一）文注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】易
2、知，又，所以，故选D2若复数满足，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由，故选B3算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A8岁B11岁C20岁D35岁【答案】B【解析】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3记最小的儿子年龄为，则，解得，故选B4某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不
3、正确的是（ ）A城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降【答案】C【解析】A由城乡居民储蓄存款年底余额条形图可知，正确；B由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升，正确；C由城乡储蓄构成百分比可知，农村居民存款年底总余额，城镇居民存款年底总余额，没有超过，错误；D由城乡储蓄构成百分比可知，城镇居民存款年底余额所占的比重从，逐年下降，正确，故选C5已知平面向量的夹角为60，则（ ）A2BCD4【答案】C【解析】因为，所以，所以，故选C6
4、已知点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】圆的标准方程为，则圆心为，直线的斜率，又，所以，所以，故弦MN所在直线的方程为，即，故选C7已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】等差数列中，因为成等比数列，所以有，即，解得，所以该等差数列的通项为，则，故选C8观察下面数阵，1357911131517192123252729则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A545B547C549D551【答案】C【解析】由题意，可得该数阵中第m行有个数，所以前m行共有个数，当时，可得前8行共255个数，因为该数阵中的数依次相连成公差为
5、2的等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是，故选C9已知A，B，C是双曲线上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，因为对角线互相平分且，所以四边形为矩形，设，则，又由，可得，所以，在中，得，所以，又因为在中，即，所以得离心率，故选D10函数，则（ ）A在上递增B在上递减C在上递减D在上递增【答案】C【解析】，故，故在和单调递增，即在上递减，故选C11已知函数在上是增函数，设，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】令，则，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，故，即，故，又，综上，故选D1
6、2定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作给出函数的四个命题：函数的定义域为，值域为；函数是周期函数，最小正周期为；函数在上是增函数；函数的图象关于直线对称其中所有的正确命题的序号为（ ）ABCD【答案】B【解析】中，显然的定义域为R，由题意知，则得到，故错误；中，由题意知：，所以的最小正周期为1，故正确；中，由于，则得为分段函数，且在，上是增函数，故命题正确；中，由题意得，所以函数的图象关于直线不对称，故命题错误，由此可选择，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13函数的最大值为_【答案】【解析】，当且仅当时等号成立故答案为14一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，
7、则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】由三视图得三棱锥直观图如下所示：其中两两互相垂直，将三棱锥补成以为边长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即为，所以外接球的表面积为，故答案为15已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且满足，当角B最大时的面积为_【答案】【解析】已知等式利用正弦定理化简得，由余弦定理，可知当角最大时，则最小，由基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号代入，可得，因为，所以，在等腰中，求得底边上的高为，故答案为16已知，若有个根，则的取值范围是_【答案】【解析】作出的图象，如图，不妨设，根据二次函数的对称性可得，由对数
8、函数的性质可得，若有个根，由图可知，从而易知，于是，因为，所以故答案为三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列满足，且数列是以为公比的等比数列（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的通项公式为，设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1），数列是首项为2，公比为2的等比数列，（2）设数列、的前项和分别为、，则，所以数列的前项和为18（12分）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记二二年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的
9、9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的102%下降至2018年的17%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在202
10、0年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；可能用到的数据：；参考公式：线性回归方程中，【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数
11、5133千元，平均数516千元；（2），该家庭2020年能达到小康标准【解析】（1）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在6，7)的频率为018，所以频率分布直方图如下：中位数为（千元），（或：设中位数为，则，解得）平均数（千元）（2）解：由题意得，所以，所以回归直线方程为，设为2020年该家庭人均月纯收入，则时，即2020年前三月总收入为元；当时，即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760，984，构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为，所以2020年该家庭总收入为：，所以该家庭2020年能达到小康标准19（12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面，（1
12、）求证：平面平面；（2）若点是棱的中点，且，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为，所以又因为平面平面，平面平面，所以平面又平面，所以平面平面（2）由（1）知又，平面，平面，设的中点为，连接，则且，又且，所以所以点到平面的距离等于点到平面的距离，而点到平面的距离等于点到平面的距离的，所以点到平面的距离，故20（12分）已知椭圆的右焦点为，短轴长等于焦距，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，线段的中点为，是轴上一点，且，求证：线段的中点在轴上【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由椭圆经过点，得，由短轴长等于焦距，得
13、，则，所以，故椭圆的方程为（2）设直线的方程为，由，得，由题意，得，且，则，即设，由，得，解得所以，所以，故线段的中点在轴上21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】（1）依题意，当时，单调递减；当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）当时，恒成立，即，即，即恒成立，即令，则，易知在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以所以实数的取值范围是请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐
14、标系中，直线l的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设，若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值【答案】（1）；（2）4【解析】（1）圆C的极坐标方程为，则，由极坐标与直角坐标的转化公式得，所以（2）将线l的参数方程为（为参数），代入所以，设点A，B所对应的参数为和，则，则，当时，的最大值为423（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知为正数，且，证明：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）将平方得：，由基本不等式知：，三式相加得：，则，所以，当且仅当时等号成立（2）由，同理，则，即，当且仅当时等号成立