1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.a-b=22C.a-b与b垂直D.ab解析:a-b=12,-12,(a-b)b=12,-1212,12=14-14=0,(a-b)b.答案:C2.已知OA=(2,8),OB=(-7,2),则13AB=()A.(3,2)B.-53,-103C.(-3,-2)D.53,4解析:AB=OB-OA=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6),13AB=13(-9,-6)=
2、(-3,-2).答案:C3.已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0解析:a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.答案:B4.在ABC中,a=4,b=43,A=30,则B等于()A.60B.60或120C.30D.30或150解析:由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=43124=32.又ba,BA,B=60或B=120.答案:B5.已知点O是ABC所在平面上一点,且满足OAOB=OBOC=OAOC,则点O是ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心解析:OAOB=OBOC,OB(OA-OC
3、)=0,即OBCA=0,则OBCA.同理OABC,OCAB.O是ABC的垂心.答案:B6.在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25解析:cosC=2cos2C2-1=2552-1=-35,AB2=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25-215-35=32,AB=42,故选A.答案:A7.在ABC中,a=1,B=45,ABC的面积为2,则三角形外接圆的半径为()A.23B.42C.522D.32解析:由三角形的面积公式,得2=12acsinB=12c22.c=42.又b2=a2+c2-2accosB=1+32-214222=25,b=5
4、.bsinB=2R,R=b2sinB=5222=522.答案:C8.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:|a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2ab=0ab,即“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的充分必要条件.故选C.答案:C9.在ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是()A.b=10,A=45,C=75B.a=7,b=5,A=80C.
5、a=60,b=48,C=60D.a=14,b=16,A=45解析:A项中,由正弦定理知,只有一解;B项中,A=80,且ab,只有一解;C项中,由余弦定理知,只有一解;D项中,由正弦定理得sinB=bsinAa=162214=42722,a45,D项有两解.答案:D 10.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定解析:由bcosC+ccosB=asinA及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,sinA=sin2A.又A为ABC的内角,sinA=1,A=90,
6、ABC为直角三角形.答案:A11.设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:A,B,C三点不共线,|AB+AC|BC|AB+AC|AB-AC|AB+AC|2|AB-AC|2ABAC0AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的充分必要条件,故选C.答案:C12.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去,则行驶15 min时,两船的距离是
7、()A.7 kmB.13kmC.19 kmD.10-33km解析:如图,由题意知AM=81560=2,BN=121560=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MBBNcos120=1+9-213-12=13,所以MN=13km.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.设向量a=(1,0),b=(-1,m),若a(ma-b),则m=.解析:a=(1,0),b=(-1,m),ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).由a(ma-b)得,a(ma-b)=0,a(ma-b)=m+1=0,即m=-1.答案
8、:-114.如图,在ABC中,B=45,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=.解析:在ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-25273=1114,则sinC=5314.在ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,则AB=ACsinCsinB=7531422=562.答案:56215.已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-5b,设a,c的夹角为,则cos =.解析:a,b为单位向量,|a|=|b|=1.又ab=0,c=2a-5b,|c|2=4|a|2+5|b|2-45ab=9,|c|=3.又ac=2|a|2-5ab=2,cos=ac|a|c|=213=
9、23.答案:2316.若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.解析:SABC=34(a2+c2-b2)=12acsinB,a2+c2-b22ac=sinB3,即cosB=sinB3,sinBcosB=3,B=3,则ca=sinCsinA=sin23-AsinA=32cosA-12sinAsinA=321tanA+12.C为钝角,B=3,0A6,tanA0,33,1tanA(3,+),故ca(2,+).答案:32,+三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a=(cos ,sin ),b=(
10、cos ,sin ),0.(1)求|a|的值;(2)求证:a+b与a-b互相垂直.(1)解:|a|=sin2+cos2=1,|a|=1.(2)证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,又|a|2=cos2+sin2=1,|b|2=sin2+cos2=1,(a-b)(a+b)=0,a+b与a-b互相垂直.18.(本小题满分12分)设OA=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3).(1)当m=8时,将OC用OA和OB表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.解:(1)当m=8时,OC=(8,3),设OC=1OA+2OB,(8,3)=1(2,-1)+2
11、(3,0)=(21+32,-1),21+32=8,3=-1,解得1=-3,2=143.OC=-3OA+143OB.(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有AB与AC不共线,又AB=OB-OA=(3,0)-(2,-1)=(1,1),AC=OC-OA=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),则有14-(m-2)10,m6.19.(本小题满分12分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解
12、得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinC=cbsinB=5314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cosC=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.20.(本小题满分12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:(1)ab,|a+b|;(2)a与b的夹角的余弦值.解:(1)a=3e1-2e2=3(1,0)-2(0,1)=(3,0)-(0,2)=(3,-2),b=4e1+e2=4(1,0)+(0,1)=(4,0)+(0,1)=(4,1),ab
13、=43+(-2)1=10.a+b=(7,-1),|a+b|=72+(-1)2=50=52.(2)设a与b的夹角为,则cos=ab|a|b|=1032+(-2)242+12=101317=10221221.21.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解:ABAC=cbcosA=3ccosA=-6,ccosA=-2.SABC=12bcsinA=32csinA=3,csinA=2.tanA=-1.又0A,A=34.c=2sin34=22.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+8-2322-22=29.a=2
14、9.22.(本小题满分12分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sinC=3,试判断ABC的形状.解:(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,cosA=b2+c2-a22bc=12,A=60.(2)A+B+C=180,B+C=180-60=120.由sinB+sinC=3,得sinB+sin(120-B)=3,sinB+sin120cosB-cos120sinB=3.32sinB+32cosB=3,即sin(B+30)=1.0B120,30B+30150.B+30=90,B=60.A=B=C=60,ABC为正三角形.