1、4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像基础认知自主学习 1二次函数图像的变换2参数“a，h，k”对二次函数ya(xh)2k(a0)的图像的影响(1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图像的_和_(2)h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正_，h负_”(3)k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正_，k负_”开口方向大小左移右移上移下移(1)二次函数的图像名称是什么？提示：二次函数图像的名称是抛物线(2)二次函数解析式有哪些形式？提示：一般式：yax2bxc(a0).顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标两根式：ya(xx1)(xx2)(a0).
2、(3)抛物线 yax2bxc(a0)的顶点坐标是什么？提示：抛物线 yax2bxc(a0)的顶点坐标是 b2a，4acb24a.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二次函数y3x2的开口比yx2的开口要大()提示：比较二次项系数可知31，因为二次项系数的绝对值越小，开口越大，所以yx2的开口大于y3x2的开口.(2)要得到y(x2)2的图像，需要将yx2的图像向左平移1个单位长度()提示：要得到y(x2)2的图像，需要将yx2的图像向右平移2个单位长度(3)要得到y2(x1)2的图像，需将y2(x1)21的图像向上平移1个单位长度()提示：根据图像平移规律可知正确2将二次函数 y2x28
3、x7 化为 ya(xm)2n 的形式，正确的是()Ay2(x4)27 By2(x2)27Cy2(x2)211 Dy2(x2)215【解析】选 D.y2x28x72(x24x)7 2(x24x44)72(x2)215.3(教材练习改编)下列函数中，其图像开口最小的是()Ay3x2By12 x2x1Cy12 x2xDy4x21【解析】选 D.在二次函数 yax2bxc(a0)中，|a 越大，其图像开口越小能力形成合作探究类型一 二次函数的图像及其变换(数学抽象、直观想象)1将抛物线 y(x1)22 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度得到的抛物线解析式是()Ay(x4)27 By(
4、x4)23Cy(x2)27 Dy(x2)23【解析】选 A.y(x1)22，先向右平移 3 个单位长度得 y(x13)22,即 y(x4)22,再向上平移 5 个单位长度得 y(x4)225,即 y(x4)27.2将二次函数 y2x2 的顶点移到(3，2)后，得到的函数的解析式为_【解析】因为二次函数 y2x2 的顶点为(0，0)，所以要将其顶点移到(3，2)，只要把图像向左平移 3 个单位长度，向上平移 2 个单位长度即可，所以平移后的函数解析式为 y2(x3)22.答案：y2(x3)223在同一坐标系中作出下列函数的图像yx2，yx22，y2x24x，并分析如何把 yx2 的图像变换成 y
5、2x24x 的图像【解析】列表：x3210123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描点、连线即得相应函数的图像，如图所示由图像可知由 yx2 到 y2x24x 的变化过程为：先把 yx2 的图像向下平移 1 个单位长度得到 yx21 的图像，然后再把 yx21 的图像向右平移 1 个单位长度得到 y(x1)21 的图像，最后把 y(x1)21 的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，便可得到 y2(x1)22，即 y2x24x 的图像二次函数图像的作法(1)将函数解析式进行配方，可求得对称轴与顶点坐标(2)列表求出图像上的一系列点，在选取时一般关于对称
6、轴对称选取(3)描点，然后用圆滑曲线连接，即得二次函数图像【补偿训练】画二次函数 y12 x26x21 的图像，并说明它是如何经过 y12 x2 平移得到的【解析】因为 y12 x26x2112(x6)23，所以抛物线的顶点坐标为(6，3)，对称轴为 x6.令 x0，求得 y21，即它与 y 轴交点为(0，21)，此交点距顶点太远，画图时用不上令 y0，12 x26x210，因为 0，方程无实数解，所以抛物线与 x 轴没有交点因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可(1)利用二次函数的对称性列表：x45678y53.533.55(2)描点
7、、连线即得函数 y12 x26x21 的图像，如图所示把 y12 x2 的图像向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就可得到 y12 x26x21 的图像 类型二 二次函数图像的识别(直观想象)【典例】如图是二次函数 yax2bxc(a0)图像的一部分，图像过点 A(3，0)，对称轴为 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A B C D【思路导引】根据二次函数的图像可以得到图像与 x 轴有两个不同的交点且开口向下，故判别式为正，a0，即 b24ac，正确对称轴为 x1，b2a 1，2ab0，错误结合图像，当 x1 时，y0，即 abc
8、0，错误由对称轴为 x b2a 1 知，b2a.又函数图像开口向下，所以 a0，所以 5a2a，即 5a0，而 yax2bxc 的图像开口向下，a0，矛盾；B，yaxb 中，a0，b0，而 yax2bxc 的图像的对称轴 x b2a 0，矛盾；D，yaxb 中，a0，但 yax2bxc 的图像开口向上，矛盾；C，yaxb 中，a0，b0，且由 yax2bxc 的图像可知 a0，b0，故正确类型三 二次函数的解析式及其应用(数学抽象、逻辑推理)角度 1 由二次函数解析式求最值【典例】若函数 f(2x1)x2x，则 f(x)的最小值为_【思路导引】利用换元法得到 f(x)的解析式，然后利用配方法得
9、到二次函数的最值【解析】令 t2x1，则 xt12，所以 f(t)t122t12t24t34，即 f(x)x24x34（x2）214，当 x2 时，f(x)的最小值为14.答案：14将本例中条件改为：已知定义在 R 上的函数 f(x)x22ax3 在(，1上是减少的，当 xa1，1时，f(x)的最大值与最小值之差为 g(a)，则 g(a)的最小值为()A12 B1 C32 D.2【解析】选 B.因为 f(x)在(，1上是减少的，所以a1，即 a1.所以 f(x)在a1，1上的最大值为 f(a1)3a24a4，最小值为 f(1)42a，所以 g(a)3a22a3a13213，因为 g(a)在(，
10、1上减少，所以 g(a)的最小值为 g(1)1.角度 2 求二次函数的解析式【典例】已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值为 8，试确定此二次函数的解析式【思路导引】(1)首先用待定系数法设出二次函数的解析式，再根据题设条件列出方程组求出待定系数的值(2)由题意分析可设顶点式 f(x)21a x28.(3)由题意可设两点式 f(x)1a(x2)(x1).【解析】方法一：设 f(x)ax2bxc(a0)，由题意，得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.所以所求的二次函数解析式为 f(x)4x24x7.方法二：设 f(x)a(xh)2k(
11、a0).因为 f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为直线 x2（1）212.所以 h12.又函数的最大值为 8，所以 a0 且 k8，所以 f(x)ax1228.又 f(2)1，所以 a212281，所以 a4.所以 f(x)4x12284x24x7.方法三：由已知得 f(x)10 的两根为 x12，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即 f(x)ax2ax2a1.又 f(x)的最大值为 8，所以4a（2a1）a24a8.解得 a4 或 a0(舍去).所以所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.求二次函数解析式的方法及其一般步骤(1)方法：待定系数法(2)步骤：(*)的说明
12、：二次函数解析式求解时应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式形式：当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式 yax2bxc(a，b，c 为常数，a0)，然后列出三元一次方程组求解当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值时，则设所求二次函数为顶点式 ya(xh)2k(其顶点是(h，k)，a0).当已知二次函数图像与 x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)时，则设所求二次函数为两点式 ya(xx1)(xx2)(a0).1二次函数 f(x)的图像经过两点(0，3)，(2，3)且最大值是 5，则该函数的解析式是()Af(x)2x28x11Bf(x)2x28x1Cf
13、(x)2x24x3Df(x)2x24x3【解析】选 D.二次函数 f(x)的图像经过两点(0，3)，(2，3)，则对称轴为 x1，因为最大值是 5，所以可设 f(x)a(x1)25(a0)，所以 3a5，解得 a2，故 f(x)2(x1)25，即 f(x)2x24x3.2若二次函数 yax2bxc(a0)的图像经过点(1，0)，(3，0)和(0，2)，则此二次函数的解析式为_.【解析】因为二次函数 yax2bxc(a0)的图像经过点(1，0)，(3，0)和(0，2)，所以abc0，9a3bc0，c2，解得a23，b43，c2，故该二次函数的解析式为 y23 x243 x2.答案：y23 x24
14、3 x23已知一元二次函数 y4x24axa22a2.(1)写出该函数的顶点坐标；(2)如果该函数在区间0，2上的最小值为 3，求实数 a 的值【解析】(1)由 y4x24axa22a22a4 x22a2，所以抛物线的顶点坐标为a2，2a2.(2)二次函数图象开口向上，对称轴为 xa2，在区间0，2上的最小值，分情况：当a2 0，即 a0 时，x0 时函数取得最小值，即 a22a23，解得 a1 2，又 a2，即 a4 时，x2 时函数取得最小值，即 168aa22a23，解得a5 10，又 a4，所以 a5 10.综上，a1 2 或 a5 10.【补偿训练】已知二次函数 yf(x)的图像如图
15、所示，则此函数的解析式为_【解析】设 ya(x2)(x2)(a0 的解集为x|2x0 的解集为x|x1或x2，则函数 yf(x)的图像大致为()【解析】选 B.由不等式的解集可知 1 和2 是方程 ax2xc0 的两根，由根与系数的关系知(2)11a，(2)1ca，解得 a1，c2，故 f(x)x2x2，所以 f(x)x2x2，即 f(x)(x2)(x1)，故其图像为 B.1顶点在(2，3)的抛物线方程为()Ayx24x1 Byx24x1Cyx24x3 Dyx24x3学情诊断课堂测评【解析】选 A.yx24x1(x2)23，顶点坐标为(2，3)；yx24x1(x2)23，顶点坐标为(2，3)；
16、yx24x3(x2)27，顶点坐标为(2，7)；yx24x3(x2)21，顶点坐标为(2，1).2若函数 y(3t)xt23t2tx1 是关于 x 的二次函数，则 t 的值为()A3 B0 C0 或 3 D1 或 2【解析】选 B.由题意可得t23t22，3t0，解得t0或3，t3，所以 t0.3函数 y2x(3x)的图像可能是()【解析】选 B.由 2x(3x)0，得 x0 或 x3，可知图像与 x 轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除 A，C.又 y2x(3x)2x26x，所以图像开口向下，故排除 D.4(教材习题改编)将抛物线 yx21 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的新抛物线的解析式为_【解析】因为二次函数的解析式为 yx21，顶点坐标为(0，1)，向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的点是(2，2)，可设新函数解析式为 y(xh)2k，代入顶点坐标得 y(x2)22.答案：y(x2)225已知点(3，1)，(1，3)为二次函数 f(x)ax22axb(a0)的图像上的两个点，则 f(x)的解析式为_【解析】将(3，1)，(1，3)分别代入 f(x)ax22axb(a0)中，有9a6ab1，a2ab3，解得a12，b52所以 f(x)12 x2x52.答案：f(x)12 x2x52