1、2020-2021学年度上学期12月考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1过点且与直线垂直的直线方程是（ ）ABCD2设.表示两条直线，.表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）A若.，则 B若.，则C若，则 D若，则3已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是（ ）A1B2C3D44两圆C1：与圆C2：的公共弦所在的直线方程为（ ）A BC D2x-4y+1=05 九章算术是古代中国乃至东方的第一
2、部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）A BC D6已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）ABCD7已知直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是（ ）A（2，2） B（1，1） C D8若圆：，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为（ ）A2B4C6D89如图所示，四棱锥中，四边形为矩形，平面平面.若，则四棱锥的体积最大值为（ ）A. B C D10已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A
3、 B C D11（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（ ）A7B17C18D1912（多选题）正方体的棱长为1，E，F，G分别为，的中点.则（ ）A直线与直线垂直B直线与平面平行C平面截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面的距离相等第卷(非选择题，共90分)）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准方程为_.14椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且F1PF290，则F1PF2的面积是_15已知A、B为半径为2的球O表面上的两点，且.平面平面，直线，若平面、截球O所得的截面分
4、别为和，则_.16已知圆：，：，点是圆上的一个动点，是圆的一条动弦，且，则的最大值是_.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分,必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17已知，直线经过直线与直线的交点（1）若直线与直线平行，求直线的方程；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程18如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且平面平面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19已知椭圆的长轴长为，短轴长为(1)求椭圆方程；(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长20已知，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，
5、过作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标取值范围.21如图1，在中，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，（）求证：平面平面；（）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于两点且不过原点.（1）求椭圆方程；（2）若直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.参考答案一选择题：1-5:DDBCD 6-10:BCBCC 11.AB 12.BC二填空题：13 141 15 1616三解答题：17（1）；（2）【分析】（1）先求出两直线的交点的坐标，设所求直线的方程为，将点
6、的坐标代入可得答案.（2）当时，点到直线的距离最大，从而可求出答案.【详解】解：联立与，解得，即（1）直线的方程为，将代入得直线的的方程为（2）当点到直线的距离最大时， 直线的的方程为，化简得18（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：，平面，平面， 平面.（2）取中点，连接，则.又平面底面，平面，就是直线与平面所成的角.由勾股定理可求得，.直线与平面所成角的正弦值为.19(1)；(2) ，.【详解】(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，得，所以， 所以椭圆方程为 (2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.在椭圆上，所以， 两式相减可得，所以的斜率为， 点为中点的弦所在直线方程为. 由，得，所以或
7、，所以【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用20（1）或；（2）.【分析】（1）根据圆心在直线上也在直线上，求得圆心坐标，可得过的圆的切线方程.（2）设圆的方程为，再设，根据，求得圆，根据题意，圆和圆有交点，可得，即，由此求得的范围.【详解】解：（1）根据圆心在直线上，若圆心也在直线上，则由，求得，可得圆心坐标为.设过的圆的切线方程为，即，根据圆心到直线的距离等于半径1，可得，求得，或，故切线方程为，或.（2）根据圆心在直线上，可设圆的方程为.若圆上存在点，使，设，化简可得，故点在以为圆心、半径等于2的圆上.根据题意，点也在圆上，
8、故圆和圆有交点，即，求得，且，解得.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查学生的数学抽象能力与计算能力，属于中档题.21（）证明见解析；（）存在，.【详解】试题解析：（）证：因为，分别为，中点，所以/因为，所以所以因为，所以又因为 =，所以 平面又因为平面，所以平面 平面 （）解： 因为，所以，两两互相垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，则，假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为设，则，即 所以，.易得平面的一个法向量为设平面的一个法向量，则有，即，令，则若二面角的余弦值为，则有，即，解得，又因为，所以故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角和面面角的求解，难度较大，解题的关键是根据，两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用向量的方法建立角的关系.22（1）；（2）.【详解】解：（1）由已知得，所以椭圆标准方程为.（2）由（2）知且，因为直线的斜率依次成等比数列，所以，即，又，所以，.由于直线的斜率存在且不为及，得且.设为点到直线的距离，则，所以的取值范围为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题