1、核心素养测评三十三 等比数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,是等比数列,则实数a满足的条件是()A.a|a1B.a|a0或a1C.a|a0D.a|a0且a1【解析】选D.由等比数列定义可知a0且1-a0,即a0且a1.【变式备选】数列an满足:an+1=an-1(nN*,R且0),若数列an-1是等比数列,则的值等于()A.1B.-1C.D.2【解析】选D.由an+1=an-1,得an+1-1=an-2=(an-).由于数列an-1是等比数列,所以=1,得=2.2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让
2、乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为()A.B.C.D. 【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5=.3.已知各项不为0的等差数列an满足a6-+
3、a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11=()A.1B.2C.4D.8【解析】选D.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6-+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12=23=8.【变式备选】已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于()A.B.或C. D.以上都不对【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设acd0.则由三角形三边不等关系知:当q1时.a+aqaq2,即q2-q-10所以q,所以1q.当0qa,则q2+q-10
4、,所以q或q-,所以q0,其前n项和为Sn,且S5=62,a4,a5的等差中项为3a3.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以S5=31a1=62,a1=2,所以an=22n-1=2n.(2)因为bn=,所以Tn=b1+b2+bn=-.(15分钟35分)1.(5分)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛
5、、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是()A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=C.a,b,c成公比为的等比数列,且a=D.a,b,c成公比为的等比数列,且c=【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为的等比数列,b=a,c=b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=.【变式备选】已知等比数列an的公比q=2,前100项和为
6、S100=90,则其偶数项a2+a4+a100为()A.15 B.30C.45D.60【解析】选D.S100=a1+a2+a100=90,设S=a1+a3+a99,则2S=a2+a4+a100,所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+a100=2S=60.2.(5分)在等比数列an中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,则=()A.-B.-C.D.-或【解析】选D.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16=2,所以a9=,所以=a9=.【变式备选】在等比数列an中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则=()A.2B.2C.1D.-2【解析】选A.由题知,a3
7、+a15=60,a3a15=80,则a30,a150,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=a9=2.设等比数列an的公比为q,则a9=a3q60,故a9=2,故=2.3.(5分)在各项都为正数的等比数列an中,若a2 020=,则+的最小值为_,此时q=_.【解析】设公比为q(q0),因为a2 020=,所以a2 019=,a2 021=a2 020q=q,则有+=q+=q+2=4,当且仅当q2=2,即q=时取等号,故所求最小值为4.答案:4【变式备选】设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若Sn是等差数列,则q为_.【解析】若q=1,则Sn=na1,所以Sn是等差数列;若
8、q1,则当Sn是等差数列时,一定有2S2=S1+S3,所以2=a1+,即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,所以q=0或q=1,而q0,q1,所以此时不成立.综上可知,q=1.答案:14.(10分)已知数列an是各项均为正数的等比数列,若a1=1,a2a4=16.(1)设bn=log2an,求数列bn的通项公式.(2)求数列anbn的前n项和Sn.【解析】(1)因为a1=1,a2a4=16,由等比数列的性质可得,a2a4=16且an0,所以a3=4,所以q2=4,所以q=2或q=-2(舍去),所以an=2n-1,因为bn=log2an=log22n-1=n-1,所以bn=n-1.(2)
9、由(1)得anbn=(n-1)2n-1,Sn=020+121+222+(n-1)2n-12Sn=021+122+(n-2)2n-1+(n-1)2n-得-Sn=2+22+23+2n-1-(n-1)2n=-(n-1)2n=2n(2-n)-2所以Sn=(n-2)2n+2.5.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,且an=(nN*).(1)若数列an+t是等比数列,求t的值.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)当n=1时,由a1=得a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.依题意得(3+t)2=(1+t)(7+
10、t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n2,即an+1为等比数列成立,故实数t的值为1.(2)由(1)知当n2时,an+1=2(an-1+1),又因为a1+1=2,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=22n-1=2n,所以an=2n-1.1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ()A.fB.fC.fD.f【解析】
11、选D.这13个单音构成了一个以f为首项,为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=f()n-1,即a8=f.2.(2020郑州模拟)设首项为1的数列an的前n项和为Sn,且an=若Sm2 020,则正整数m的最小值为()A.15B.16C.17D.18【解析】选C.由题意知a2k=a2k-1+1,a2k+1=2a2k+1,所以a2k+1=2(a2k-1+1)+1=2a2k-1+3,即a2k+1+3=2(a2k-1+3).又a1+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,所以a2k-1=42k-1-3,a2k=42k-1-2,所以S奇=a1+a3+a2k-1=-3k=2k+2-4-3k,S偶=a2+a4+a2k=2k+2-4-2k,所以S2k=S奇+S偶=2k+3-8-5k.当k=8时,S16=2 0002 020,故正整数m的最小值为17.
