1、高二数学（理科）2022-05 阶考 第 1 页 共 2 页 高 2020 级高二下期 5 月阶段性测试数学（理科）试题命题人：邓连康审题人：白继才、陈杰、常勇一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得 5 分，共 60 分）1已知复数 z 满足3 i2zi，则 z 的虚部是（）A iBiC1D12老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点2,2.乙：该圆的半径为 5.丙：该圆的圆心为1,0.丁：该圆经过点7,0，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A甲B乙C丙D丁3已知曲线2cos:sinxCy 为参数，以坐标原点O 为原点，x 轴正方向为极轴
2、，建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（）A2241 sin B2241 2sin C2241 3sin D2241 4sin 4220cosxx dx（）A34B324C22D2225函数 211222xxf xx eeaxaxa，1x 是函数的极大值点，则a 的取值范围是（）A,e B,2e C2,e D2,2e 6实数,x y 满足：2124xttyt为参数，则 3xy的取范围为()A3,2B7,7C 2,7D3,77用数学归纳法证明：*1111232nf nnN 的过程中，从nk到1nk 时，1f k 比 f k共增加了（）A1 项B21k 项C 2k 项D12k 项8偶函数 fx为
3、 f x 的导函数，fx的图象如图所示，则函数 f x 的图象可能为（）ABCD9正方体1111ABCDA BC D，棱长为2，M 是CD 的中点，则三棱锥11BAMD的体积为（）A 2B2C2 2D410函数 21cos2f xxax，定义域为 0,2，f x 有唯一极值点，则实数a 的取值范围为（）A21，B112，C1122，D112，11已知函数 e,0ln,0 x xf xx x，（e 为自然对数的底数），则函数 211eF xff xf x的零点个数为（）A8B7C6D412函数 f x 定义域为 R，导函数为 fx，f x 满足下列条件：任意 xR，222f xfxx恒成立，1,
4、x 时，21fxx 恒成立，则关于t 的不等式：222352ftf ttt的解集为（）A 0,2B01，C 11，D1 2，高二数学（理科）2022-05 阶考 第 2 页 共 2 页 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13直线l 为曲线223lnyxxx的切线，且l 与直线2yx平行，则直线l 的一般方程为_.14在复平面内，复数 z 满足：11zi ，则 z 最小值是_.15已知梯形 ABCD和矩形CDEF.在平面图形中，112ABADDECD，CDAE.现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面 ABCD垂直于面CDEF.设2ENNC，EPPB，若 APDBN面，则实数 的
5、值为；16已知6a，若方程432313ln202xaxxxxx在1,2 上有唯一实根，则实数a 的取值范围为三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（10 分）已知C 的极坐标方程为4cos，以极点O 为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，（1）求C 的直角坐标方程，（2）过1,1M作直线l 交圆C 于,P Q 两点，且2PMQM，求直线l 的斜率.18（12 分）如图，AB 为圆柱底面的直径，ACD是圆柱底面的内接正三角形，AP 和 DQ 为圆柱的两条母线，若2=2ABAP（1）求证：平面 PCQ 平面 BDQ；（2）求 BP
6、 与面 ABQ所成角正弦值；（3）求二面角 BAQC的余弦值19（12 分）已知函数 334f xxax，定义域为2,，实数0,a,（1）若=1a，求函数的极值点与极值；（2）若函数 f x 在区间2,1上的最大值为20，求实数a 的值.20（12 分）数列 na，分别解答下列问题（1）若：14a，*1311nnnaannN求2a，3a，4a 的值，猜想 na的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想（2）已知 22xefxx，若：12a，*1nnaf an N，证明：*nN，12nnaa 恒成立21（12 分）函数 21xf xeaxx ，定义域为0,1（1）f x 在0,1 上单调递增，求实数
7、a 的取值范围（2）f x 在0,1 上恰有两个零点，求实数a 的取值范围22（12 分）函数 21ln12f xxxxax，f x 有两个不同的极值点1212,x xxx，（1）求实数a 的取值范围;（2）当127xx的取值范围为15ln 2,11 ln3 时，总存在两组不同的数对12,x x使得方程2212221exxx x成立，求实数 的取值范围DCABEFNP高二数学（理科）2022-05 阶考 第 3 页 共 2 页 高 2020 级高二下期 5 月阶段性测试数学（理科）试题参考答案16：CDCAAD,712CBBACA13:20 xy，14：2 1，15：3，16：72ln2,61
8、7:（1）C 的极坐标方程为：=4cos，直角坐标方程为2224xy（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为 1cos:1sinxtltyt 为参数，与2224xy联立，得22 sincos20tt，点 P 对应的参数为 1t，点Q对应的参数为 2t，则12122 sincos2ttt t ，因为122tt，所以 122tt，联立可得23sin8sincos3cos0，解得：47tan3，所以直线的斜率为 474733或18：(1)因为 AB 为圆柱底面的直径，所以 ADBD；因为 DQ 为圆柱的母线，故 ADDQ，又 BDDQD，故 AD 平面 BDQ由 AP 和 DQ 为圆柱的两条母线知
9、四边形 APQD 为矩形，因此 PQAD，故 PQ 平面 BDQ又因为 PQ 平面 PCQ，所以平面 PCQ 平面 BDQ（2）由题意知 DA，DB，DQ 两两垂直，以 D 为坐标原点，DA，DB，DQ 为 x，y，z 轴，建立如图空间直角坐标系，令2AB，因为ACD是圆柱底面的内接正三角形，故30BAD，故cos303ADAB，sin301BDAB 3,0,0A，0,1,0B，0,0,1Q，3,0,1P3,1,0AB ，3,0,1AQ 3,1,1BP 在平面 ABQ 中，设平面 ABQ 的法向量为,nx y z，由00n ABn AQ ，即3030 xyxz，令1x 得1,3,3n，|105
10、cos,35BP nBP nBP n，所以直线 BP 与面 ABQ所成角正弦值为 10535(3)过 C 作CHAD，垂足为 H，1322DHAD，3322CHAD，故点 C 的坐标为3 3,022C，3 3,022AC，3,0,1AQ 在平面 ACQ 中，设平面 ACQ 的法向量为,mx y z，由00m ACm AQ，即3302230 xyxz，令3x 得3,1,3m 设二面角 BAQC的平面角为，由图可知 为锐角，则|5 3cos|cos,|91m nm nm n，所以二面角 BAQC的余弦值为 5 2739119：（1）231fxx2,1x，0fx，f x 单调递增；1,1x，0fx，
11、f x 单调递减1,x，0fx，f x 单调递增，所以 1 是函数的极大值点，极大值为 16f；1是函数的极小值点，极大值为 12f（2）23fxxa若01a，2,xa，0fx，f x 单调递增,xaa，0fx，f x 单调递减,1xa，0fx，f x 单调递增若 max2420f xfaa a，得4a（舍去）若 max15 320f xfa，得5a （舍去）若14a，2,xa，0fx，f x 单调递增,1xa，0fx，f x 单调递减高二数学（理科）2022-05 阶考 第 4 页 共 2 页 若 max2420f xfaa a，得4a（舍去）若4a，2,1x，0fx，f x 单调递减若 m
12、ax26420f xfa，得4a（满足）综上所述：4a 20：（1）解：14a ，1311nnnaan，21219aa，3251163aa，4331252aa 猜想21nan证明：当1n 时，2142a，猜想显然成立；假设当nk时，猜想成立，即21kak，则当1nk 时，222131442111kkkaakkkkk，即当1nk 时，猜想也成立由可知，猜想成立，即21nan（2）当1n，22122eaa，命题成立当 nk时，假设12kkaa 成立当1nk 时，1kkaf a，21kkaf a 322xexfxx，当2,x，f x 单调递增，因为12kkaa，所以 2122kkeff af a 所
13、以122kkaa，有数学归纳法，命题成立21：（1）21xfxeax，2xfxea，fx 在0,1 单调递增若21a ，即12a 时，0,1x，01 20fxfa，fx 单调递增，00fxf，f x 单调递增（满足）若2ae，即2ea 时，0,1x，120fxfea，fx 单调递减，00fxf，f x 单调递减（舍去）若12ae，即 122ea时，01 20fa，120fea，存在00,1x，且0ln 2xa，使得00fx，00,xx，0fx，fx 单调递减，00fxf，f x 单调递减（舍去）综上所述：12a（2）由（1）问知12a 或2ea 时，函数 f x 在0,1 单调，所以不符合题意
14、若12ae，即 122ea时，01 20fa，120fea，存在00,1x，且0ln 2xa，使得00fx，00,xx，0fx，fx 单调递减，00fxf0,1xx，0fx，fx 单调递增，121fea 若 1210fea ，即122eea 时则0,1x，0fx，f x 单调递减（舍去）若 1210fea ，即 1122ea时则存在10,1xx，使得 10fx，10,xx，0fx，f x 单调递减，00f xf，1,1xx，0fx，f x 单调递增，若函数恰有两个零点则 120fea ，即 122ae综上所述：122ae高二数学（理科）2022-05 阶考 第 5 页 共 2 页 22：（1）
15、lnfxxxa，令 lng xxx，11gxx0,1x，0gx，g x 单调递增，1,x，0gx，g x 单调递减，且 11g ，0limxg x ，因为 11 eg xxxxee，所以 limxg x，所以,1a （2）因为 111ln0fxxxa，222ln0fxxxa，所以1122lnlnxxxxa令211xt tx，与1122lnlnxxxx，解得：1ln1txt，2ln1ttxt，则1271 ln71ttxxt令 71 ln11tth ttt，则 2178ln61ttth tt，令 178ln61H ttttt,则 21710ttHtt，所以当1+t，0H t,H t 单调递增，10
16、H tH，所以 0h t，h t 单调递增，而 215 ln2h，311 ln3h所以2,3t 令 ln11tm ttt，211 ln1ttm tt，令 11 lnM ttt，21 1Mttt，当1+t，0Mt,M t 单调递增，10M tM，0m t，m t 单调递增，令 ln11ttn ttt，21 ln1ttm tt，令 1 lnN ttt ，11N tt，当1+t，0N t,N t 单调递增，10N tN，0n t，n t 单调递增，所以数对12,x x与t 一一对应存在两组不同的数对12,x x使得方程2212221exxx x成立，等价于存在两组不同的数对12,x x使得22112xxexx 成立，等价于存在两个不同的2,3t 使得2ett 成立，令 2es ttt，2,te，s t 单调递减，,3te，s t 单调递增，2s ee，2222es，2333es，232106ess，32ss所以22,33ee
