1、核心素养测评七十 排列、组合与二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.2020年寒假期间,有A,B,C,D,E,F6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,考虑到同学们到贫困村的距离问题,同学A不去甲村,同学B不去乙村,则安排方法共有()A.30种B.40种C.42种D.48种【解析】选C.6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,共有:=90种安排方法,其中A去甲村的情况有:=30种,B去乙村的情况有:=30种,A去甲村,同时B去乙村的情况有:=12种,所以符合题意的安排方法有:90-30-30+12=42种.2.安排3名志愿者完成4项工
2、作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【解析】选D.由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为=36(种).【一题多解】选D.=32=36(种).3.甲、乙、丙、丁、戊5个人去某景区游玩,已知该景区仅有A、B两个景点,若这两个景点都必须有人去游玩且每人只能游玩一个景点,则所有的情况有()A.15种B.30种C.45种D.60种【解析】选B.依题意,所有的情况有=30(种).4.(+)100的展开式中,无理数项的个数是()A.84B.85C.86D.87【解析】选A.(+)100展开式的通项为Tr
3、+1=()100-r()r=,r=0,1,2,100,所以当r是6的倍数时,Tr+1为有理项,所以r=0,6,12,96,共17项,因为展开式共有101项,所以展开式中无理项的个数是101-17=84.【变式备选】在的展开式中,x2的系数为_.【解析】的展开式中,通项公式为Tr+1=(2x)5-r=(-1)r25-r,令5-r=2,解得r=2,所以x2的系数=23=80.答案:805.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、
4、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种【解析】选B.若同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有=20种选法,若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有=30种选法,所以共有20+30=50种.【变式备选】第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,为了保护各国元首的安全,将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作,且这三个区域每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排方法共有()A.96种B.100种
5、C.124种D.150种【解析】选D.因为三个区域每个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,有两种分组的情况:一种是1,1,3,另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时,共有N1=60(种),当按照1,2,2来分时,共有N2=90(种),根据分类加法计数原理知N=N1+N2=150种.6.设(1+x)n=a0+a1x+anxn,若a1+a2+an=63,则展开式中系数最大的项是 ()A.15x3B.20x3C.21x3D.35x3【解析】选B.在(1+x)n=a0+a1x+anxn中,令x=1得2n=a0+a1+a2+an;令x=0,得1=a0,所以a1+a2+an=2n-
6、1=63,所以n=6.而(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.【变式备选】已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为()A.39B.310C.311D.312【解析】选D.由题意得,因为(x+2)9=a0+a1x+a2x2+a9x9,两边同时求导,可得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4+9a9=9,又(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a
7、6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7-8a8+9a9)=3109=312.7.在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有 ()A.34种B.48种C.96种D.144种【解析】选C.根据题意,程序A只能出现在第一步或最后一步,则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有=2种结果,又由程序B和C实施时必须相邻,把B和C看成一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有=4
8、8种结果,根据分步乘法计数原理知共有248=96种结果.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018全国卷)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_种.(用数字填写答案)【解析】恰有1位女生,有=12种,恰有2位女生,有=4种,所以不同的选法共有12+4=16种.答案:16【变式备选】有编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,要求1号车必须在3号车前出发,共有_种出发顺序.【解析】编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,共有种出发顺序,要求1号车必须在3号车前出发,所以有=6543=360(种)出发顺序.答案:3609.在二项式的展
9、开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为_.【解析】在二项式的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n,即A=4n,二项展开式中的二项式系数之和为2n,即B=2n.因为A+B=72,所以4n+2n=72,解得n=3,所以=的展开式的通项为Tr+1=()3-r=3r,令=0,得r=1,故展开式中的常数项为T2=3=9.答案:910.平面上有9个红点,5个黄点,其中2个红点,2个黄点共4个点在同一条直线上,其余再无三点共线,以这些点为顶点且三个顶点颜色不完全相同的三角形的个数是_.【解题指南】先考虑全部14个点确定的三角形,再排除不符合条件的情形.【解
10、析】由9+5=14个点中选取3个点有种方法,其中3个点共线的情形有种,3个点都是红色的情形有种,3个点都是黄色的情形有种,所以满足要求的三角形的个数为-=266.答案:266(25分钟45分)1.(5分)把一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是()A.168B.96C.72D.144【解析】选D.根据题意,有2个人各得1张,有2个人各得2张,先把这6张电影票分成4种情形,有种方法,再把这4种情况全排列,有种方法,所以不同的分法种数是=144.【一题多解】选D.先把6张票分成4份,有以下情况:12
11、,34,5,6;12,3,45,6;12,3,4,56;1,23,45,6;1,23,4,56;1,2,34,56共6种方法,再把每一种情形对应分给4个人,有种方法,所以不同的分法种数是6=144.2.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168【解析】选D.根据(1+x)8和(1+y)4的展开式的通项公式可得,x2y2的系数为=168.3.(5分)大数据时代出现了滴滴打车服务,二孩政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限
12、坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种【解析】选B.当A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时,则另两个小孩,是另外两个家庭的一个小孩,有222=24种方法.4.(10分)如表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?学校专业112212312【解析】填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并排列,共有
13、种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有种.综合以上两步,由分步乘法计数原理得不同的填表方法有:=5 184种.5.(10分)已知的展开式中的常数项等于的展开式中的二项式系数和.(1)求的展开式的各项系数和.(2)求55n除以8的余数.【解析】因为的展开式中的通项公式为Tr+1=(4)5-r=45-r,所以当r=2时取得常数项, 常数项T3=43=27,因为的展开式中的二项式系数和为2n,所以2n=27即n=7.(1)令a=1,可得展开式的各项系数和为27=128.(2)557=(56-1)7=567-566+56-,所以其除以8
14、的余数为7.6.(10分)有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内,(1)共有多少种放法?(2)恰有1个盒子不放球,有多少种放法?(3)恰有1个盒子放2个球,有多少种放法?(4)恰有2个盒子不放球,有多少种放法?【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去,每个球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有44=256(种).(2)为保证“恰有1个盒子不放球”,先从4个盒子中任意拿走1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有种分法;然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球,2个盒子,全排列即可.由分步乘法计数原理知,共有放法=144(种).(3)“恰有1个盒子放2个球”,即另外的3个盒子放剩下的2个球,而每个盒子至多放1个球,即另外3个盒子中恰有1个空盒.因此,“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事,故也有144种放法.(4)先从4个盒子中任意拿走2个,有种拿法,问题转化为:“4个球,2个盒子,每盒必放球,有几种放法”,从放球数目看,可分为(3,1),(2,2)两类:第1类,可从4个球中先选3个,然后放入指定的一个盒子中即可,有种放法;第2类,有种放法.因此共有+=14(种).由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有14=84(种).